Άθροισμα λόγων

KARKAR · #1

: Άθροισμα λόγων.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Με τα σημεία C , D

τριχοτομούμε την διάμετρο

ενός κύκλου . Από τυχόν σημείο

του βορείου

ημικυκλίου , φέρουμε τις χορδές SCP

και

. Υπολογίστε το άθροισμα : $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 07, 2022 9:09 pm
Άθροισμα λόγων.pngΜε τα σημεία τριχοτομούμε την διάμετρο ενός κύκλου . Από τυχόν σημείο του βορείου

ημικυκλίου , φέρουμε τις χορδές και . Υπολογίστε το άθροισμα : $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ .

Έστω

Από τέμνουσες κύκλου είναι:

: Άθροισμα λόγων.Κ.png (14.51 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} CS \cdot CP = AC \cdot CB = 2{a^2} \hfill \\ DS \cdot DT = AD \cdot DB = 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{CS\cdot CP=DS\cdot DT=2a^2}$ (1)

Αλλά από γνωστή άσκηση του σχολικού, $\displaystyle S{C^2} + S{D^2} = \frac{5}{9}A{B^2} = 5{a^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{CS}}{{CP}} + \frac{{DS}}{{DT}} = \frac{{5{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{5}{2}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 08, 2022 9:31 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 07, 2022 9:09 pm
Άθροισμα λόγων.pngΜε τα σημεία τριχοτομούμε την διάμετρο ενός κύκλου . Από τυχόν σημείο του βορείου

ημικυκλίου , φέρουμε τις χορδές και . Υπολογίστε το άθροισμα : $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ .
Έστω Από τέμνουσες κύκλου είναι: Άθροισμα λόγων.Κ.png
$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} CS \cdot CP = AC \cdot CB = 2{a^2} \hfill \\ DS \cdot DT = AD \cdot DB = 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{CS\cdot CP=DS\cdot DT=2a^2}$

Αλλά από γνωστή άσκηση του σχολικού, $\displaystyle S{C^2} + S{D^2} = \frac{5}{9}A{B^2} = 5{a^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{CS}}{{CP}} + \frac{{DS}}{{DT}} = \frac{{5{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{5}{2}}$

Γιώργο, αυτό με την άσκηση του σχολικού είναι όλα τα λεφτά.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 07, 2022 9:09 pm
Άθροισμα λόγων.pngΜε τα σημεία τριχοτομούμε την διάμετρο ενός κύκλου . Από τυχόν σημείο του βορείου

ημικυκλίου , φέρουμε τις χορδές και . Υπολογίστε το άθροισμα : $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ .

Θέτω

Από θεώρημα τεμνόμενων χορδών $x.y=z.w=\dfrac{8R^{2}}{9},(1)$

Θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $SCD,x^{2}+z^{2}=\dfrac{20R^{2}}{9},(2)$

$(1)\Rightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{w}=\dfrac{zw}{y^{2}}+\dfrac{z}{w}=z.\dfrac{w^{2}+y^{2}}{wy^{2}},(*), (2)\Rightarrow z^{2}+\dfrac{z^{2}w^{2}}{y^{2}}=\dfrac{20R^{2}}{9}\Rightarrow \dfrac{w^{2}+y^{2}}{y^{2}}= \dfrac{20R^{2}}{9z^{2}},(**), (*),(**)\Rightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{w}=\dfrac{20}{8}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

To θέμα αυτό του Θανάση είναι ειδική περίπτωση του παλιού, κλασσικού θέματος:

Έστω κύκλος κέντρου και ακτίνας και έστω μια διάμετρός του.
Έστω επίσης τα σημεία της διαμέτρου , συμμετρικά ως προς το
Από το τυχαίο σημείο του κύκλου φέρουμε τις χορδές και
Aποδείξτε ότι το άθροισμα $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ είναι σταθερό.

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 08, 2022 10:05 pm
To θέμα αυτό του Θανάση είναι ειδική περίπτωση του παλιού, κλασσικού θέματος:

Έστω κύκλος κέντρου και ακτίνας και έστω μια διάμετρός του.
Έστω επίσης τα σημεία της διαμέτρου , συμμετρικά ως προς το
Από το τυχαίο σημείο του κύκλου φέρουμε τις χορδές και
Aποδείξτε ότι το άθροισμα $\dfrac{CS}{CP}+\dfrac{DS}{DT}$ είναι σταθερό.

Από θεώρημα διαμέσων στο SCD

είναι, $\boxed{SC^2+SD^2=2(R^2+d^2)}$ (1)

: Άθροισμα λόγων.Τ.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

$\displaystyle \frac{{SC}}{{CP}} + \frac{{SD}}{{DT}} = \frac{{S{C^2}}}{{SC \cdot CP}} + \frac{{S{D^2}}}{{SD \cdot DT}} = \frac{{S{C^2} + S{D^2}}}{{{R^2} - {d^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{SC}}{{CP}} + \frac{{SD}}{{DT}} = \frac{{2({R^2} + {d^2})}}{{{R^2} - {d^2}}}}$

Άθροισμα λόγων

Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Μέλη σε σύνδεση