πρόσημο πολυωνύμου

#1

Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών του πολυωνύμου:

x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+32

#2

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 10, 2021 8:42 pm
Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών του πολυωνύμου:

Θετικό το πρόσημο:

Γράφοντας x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+32=x^4(x+2)^2-12x(x+2)+32

συμπεραίνουμε ότι το πολυώνυμο (τριώνυμο ως προς x+2

) είναι θετικό για $|x|>\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ λόγω αρνητικής διακρίνουσας 16(9-8x^2)

.

Παρατηρώντας τώρα ότι $4x^4-12x^2+9=(2x^2-3)^2\geq 0$ συμπεραίνουμε -- αφήνοντας κατά μέρος και τον άλλον μη αρνητικό όρο x^6

-- ότι αρκεί να δειχθεί η 4x^5-24x+23>0

για $|x|\leq \dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ .

Επειδή (4x^5-24x+23)'=20x^4-24

, υπάρχουν δηλαδή ακριβώς δύο σημεία μηδενισμού της παραγώγου, $x=\pm\left(\dfrac{6}{5}\right)^{1/4}$ , στο $\left[-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}, \dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right]$ , αρκεί να παρατηρηθεί ότι ισχύουν οι

$4\left(\pm\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^5-24\left(\pm\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)+23>0$ και $\pm4\left(\dfrac{6}{5}\right)^{5/4}\mp24\left(\dfrac{6}{5}\right)^{1/4}+23>0.$

[Οι ανισότητες αυτές αποδεικνύονται (και) με το χέρι, πχ $4\left(\dfrac{6}{5}\right)^{5/4}-24\left(\dfrac{6}{5}\right)^{1/4}+23=-\dfrac{96}{5}\left(\dfrac{6}{5}\right)^{1/4}+23>0$ .]

#3

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 11, 2021 4:09 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 10, 2021 8:42 pm
Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών του πολυωνύμου:

Θετικό το πρόσημο:

Γράφοντας συμπεραίνουμε ότι το πολυώνυμο (τριώνυμο ως προς ) είναι θετικό για $|x|>\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ λόγω αρνητικής διακρίνουσας .

Πολύ καλό Φίλε Γιώργο! (ελπίζω να μη μας δει ο ... Αντώνης!!!)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 10, 2021 8:42 pm
Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών του πολυωνύμου:

Για να το δούμε διαφορετικά.
Θα το κάνω για $x\geq 0$
(η μέθοδος δουλεύει και για τα αρνητικά αλλά έχει πιο πολλές πράξεις)
1περίπτωση
$x\geq 1$
Η x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+32>0

γράφεται

Αλλά
$4x^4+9\geq 12x^2$
οπότε αρκεί να δείξουμε
x^6+4x^5+23>24x

θέτουμε

και

για $x\geq 1$

Αρα g(x)>0

για $x\geq 1$ και τελειώσαμε

2περίπτωση
$0\leq x\leq 1$
θέτουμε
f(x)=x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+32

Είναι

Για $0\leq x\leq 1$
είναι
$6x^5+20x^4+16x^3-24x-24 \leq 6x+20x+16x-24x-24=18x-24 \leq 0$

Aρα η

είναι φθίνουσα στο [0,1]

οπότε θετική σε αυτό.

πρόσημο πολυωνύμου

πρόσημο πολυωνύμου

Re: πρόσημο πολυωνύμου

Re: πρόσημο πολυωνύμου

Re: πρόσημο πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση