Ouiz

#1

Η ελικοειδής επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
${\bf{X}}:[-\alpha,\alpha]\times[-\pi,\pi]\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} u\cos{v}\\ u\sin{v}\\ v \end{pmatrix}$
χωρίζει τον στερεό κύλινδρο $\Sigma:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,-\pi\leqslant z\leqslant\pi\}$ σε δυο στερεά $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να βρεθούν οι όγκοι των $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

#2

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 3:25 pm
Η ελικοειδής επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
${\bf{X}}:[-\alpha,\alpha]\times[-\pi,\pi]\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} u\cos{v}\\ u\sin{v}\\ v \end{pmatrix}$
χωρίζει τον στερεό κύλινδρο $\Sigma:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,-\pi\leqslant z\leqslant\pi\}$ σε δυο στερεά $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να βρεθούν οι όγκοι των $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Γρηγόρη καλημέρα...

Ας δούμε πρώτα τα σχήματα αυτά:

1ο Σχήμα:

: Κύλινδρος κα έλικα 1.png (60.12 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η ελικοειδής αυτή επιφάνεια και ένα μέρος από την κυρτή

επιφάνεια του κυλίνδρου.

2ο Σχήμα

: Κύλινδρος κα έλικα2.png (58.17 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το ένα από τα δύο τμήματα του κυλίνδρου που τέμνεται από την

ελικοειδή επιφάνεια.

3ο Σχήμα

: Κύλινδρος και έλικα 3.png (43.63 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η αντίστοιχη λωρίδα του προηγούμενου

τμήματος.

4ο Σχήμα

: Κύλινδρος και έλικα 4.png (73.48 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Τέλος στο σχήμα αυτό φαίνεται ένα τμήμα του δεύτερου τμήματος.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 3:25 pm
Η ελικοειδής επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
${\bf{X}}:[-\alpha,\alpha]\times[-\pi,\pi]\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} u\cos{v}\\ u\sin{v}\\ v \end{pmatrix}$
χωρίζει τον στερεό κύλινδρο $\Sigma:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,-\pi\leqslant z\leqslant\pi\}$ σε δυο στερεά $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να βρεθούν οι όγκοι των $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Γρηγόρη καλημέρα...

(Συνέχεια...)

Στην προηγούμενη ανάρτηση από αβλεψία μου θεώρησα το διάστημα ορισμού της ελικοειδούς
επιφάνειας το $\displaystyle{[0,a], \ \ a\geq 0}$ αντί του $\displaystyle{[-a,a],\ \ a\geq 0}$ .
Όμως δε διαγράφω τα σχήματα γιατί ίσως βοηθήσουν κι αυτά τον αναγνώστη.

Έτσι με το νέο διάστημα ορισμού καθώς απαιτεί το ανωτέρω πρόβλημα έχουμε το σχήμα
της ελικοειδούς με τη μορφή:

: Κύλινδρος και έλικα 6.png (60.3 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Επίσης και ο κύλινδρος που φιλοξενεί την επιφάνεια αυτή είναι όπως φαίνεται στο
ακόλουθο σχήμα:

: Κύλινδρος και έλικα 8.png (97.25 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Το επόμενο σχήμα δείχνει το ένα από τα δύο στερεά στα οποία χωρίζεται ο κύλινδρος αυτός ως εξής:

: Κύλινδρος και έλικα 5.png (46.2 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Μια ακόμα όψη του στερεού αυτού:

: Κύλινδρος και έλικα 10.png (97.34 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

και η σχέση του με τον κύλινδρο:

: Κύλινδρος και έλικα 7.png (101.14 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Το στερεό αυτό αν περιστραφεί κατά γωνία ίση με $\displaystyle{\pi}$ γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{Oz}$
τότε θα συμπέσει με το προηγούμενο καθόσον η ελικοειδής αυτή επιφάνεια είναι σταθερού βήματος.

Έτσι τα δύο αυτά στερεά έχουν τον ίδιο όγκο ίσο με το μισό όγκο του κυλίνδρου.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Ακόμα μια λύση:

Η τομή του στερεού κυλίνδρου $\Sigma:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,-\pi\leqslant z\leqslant\pi\}$ με τυχόν επίπεδο $p_{z_0}: z=z_0\,,\,-\pi\leqslant z_0\leqslant\pi$ , είναι, προφανώς, ο δίσκος $D_{z_0}:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,\,z=z_0\}$ , ενώ η τομή της ελικοειδούς επιφάνειας με το ίδιο επίπεδο είναι μια διάμετρος αυτού του δίσκου, η οποία χωρίζει τον δίσκο $D_{z_0}$ σε δύο μισούς δίσκους εμβαδού $\frac{\pi\alpha^2}{2}$ .

: cavprincsm.png (63.6 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Επειδή αυτό συμβαίνει για τυχόν επίπεδο $p_{z_0}$ , από την αρχή του Cavallieri έχουμε ότι

$V(\Sigma_1)=V(\Sigma_2)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\pi\alpha^2}{2}\,dt=\pi^2\alpha^2\,.$

Σημείωση: Επέλεξα σαν τίτλο του θέματος τον "quiz" επειδή, από την στιγμή που έχουμε δεδομένο το σχήμα του στερεού, μπορούμε με πολύ απλές μεθόδους να αποδείξουμε ότι το καθένα από τα δυο στερεά έχει όγκο τον μισό του στερεού κυλίνδρου. π.χ. η παραπάνω λύση του Κώστα Δόρτσιου είναι απλή & έξυπνη.

#5

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 3:25 pm
Η ελικοειδής επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
${\bf{X}}:[-\alpha,\alpha]\times[-\pi,\pi]\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} u\cos{v}\\ u\sin{v}\\ v \end{pmatrix}$
χωρίζει τον στερεό κύλινδρο $\Sigma:\{x^2+y^2\leqslant\alpha^2,-\pi\leqslant z\leqslant\pi\}$ σε δυο στερεά $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να βρεθούν οι όγκοι των $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ . Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Καλημέρα...

Επανέρχομαι στην πρώτη μου ανάρτηση όπου από αβλεψία μου είχα θεωρήσει την ελικοειδή επιφάνεια να είναι ορισμένη στο

διάστημα $\displaystyle{[0,a], \\ a \geq 0]}$ .

Προσπαθώντας να εξετάσω τί γίνεται και στην περίπτωση αυτή είδα ότι ισχύει ό,τι και στην άλλη περίπτωση, δηλαδή στην

περίπτωση όπου έχουμε το διάστημα $\displaystyle{[-a,a], \ \a \geq 0}$ .

Αυτό φαίνεται στα ακόλουθα σχήματα:

1ο Σχήμα:

: Κύλινδρος και έλικα 12.png (40.85 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την ελικοειδή επιφάνεια.

2ο Σχήμα

: Κύλινδρος και έλικα 11.png (43.81 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Εδώ βλέπουμε το ένα στερεό.

3ο Σχήμα

: Κύλινδρος και έλικα 13.png (62.77 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε ένα στιγμιότυπο της στροφής του πρώτου στερεού,

της κυρτής επιφάνειας αυτού ειδικότερα, γύρω από τον άξονα $\displaystyle{Ox}$ κατά

γωνία ίση με $\displaystyle{180^o}$ .

Σημείωση:
Το δυναμικό σχήμα μπορείτε να το δείτε στον σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/bfjbecez

Κώστας Δόρτσιος

Ouiz

Ouiz

Re: Ouiz

Re: Ouiz

Re: Ouiz

Re: Ouiz

Μέλη σε σύνδεση