Βάση & διάσταση υποχώρου

#1

Έστω

ένας σταθερός, αντιστρέψιμος, $3\times3$ πίνακας του δ.χ. ${\cal{M}}_{3}(\mathbb{R})$ . Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση του υποχώρου

${\cal{W}}_{P}=\{A\in{\cal{M}}_{3}(\mathbb{R}) \;|\; P^{-1}AP \;{\textnormal{\gr διαγώνιος πίνακας}}\}.$

Έως και 8/2/2021

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Έστω

ο υπόχωρος του $M_{3}(R)$ που περιέχει όλους τους διαγώνιους πίνακες $3\times 3$ .

Ο υπόχωρος

προκύπτει από τον υπόχωρο $W_{P}$ με το μετασχηματισμό $P^{-1}W_{P}P$ .

Άρα, ο υπόχωρος $W_{P}$ προκύπτει από το

με το μετασχηματισμό $PSP^{-1}$ .

Οι υπόχωροι $S,W_{P}$ είναι ισόμορφοι.

Συνεπώς $dimW_{P}=3$ και μια βάση η

$(PXP^{-1},PYP^{-1},PZP^{-1})$ , όπου (X,Y,Z)

μια βάση του

.

#3

Λίγο διαφορετικά:

Για $A\in {\cal{W}}_{P}$ υπάρχει διαγώνιος πίνακας $\Delta=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$ τέτοιος ώστε

$\begin{aligned} \Delta=P^{-1}A P\quad&\iff\quad P\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} P^{-1}=A\\ &\iff\quad P\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}+P\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}+P\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} P^{-1}=A\\ &\iff\quad a \,\underbrace{P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}}\limits_{E_1}+b\,\underbrace{P\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}}\limits_{E_2}+c\,\underbrace{P\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1}}\limits_{E_3}=A\\ &\iff\quad A=a\,E_1+b\,E_2+c\,E_3\,. \end{aligned}$

Επίσης

$\begin{aligned} \kappa\,E_1+\lambda\,E_2+\mu\,E_3={\bf{O}}\quad&\iff\quad P\begin{pmatrix} \kappa & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix} P^{-1}={\bf{O}}\\ &\iff\quad \begin{pmatrix} \kappa & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix}=P^{-1}{\bf{O}}P={\bf{O}}\\ &\iff\quad\kappa= \lambda =\mu=0\,. \end{aligned}$

Οι πίνακες E_1,E_2,E_3

παράγουν τον υπόχωρο ${\cal{W}}_{P}$ και επειδή είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του ${\cal{W}}_{P}$ , έπεται ότι αποτελούν μια βάση του. Άρα $\dim{\cal{W}}_{P}=3$ .

Βάση & διάσταση υποχώρου

Βάση & διάσταση υποχώρου

Re: Βάση & διάσταση υποχώρου

Re: Βάση & διάσταση υποχώρου

Μέλη σε σύνδεση