Ώρα εφαπτομένης 36

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 36.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

Με τα σημεία L , N

τριχοτομούμε την οριζόντια διάμετρο

ενός κύκλου . Σημείο

κινείται

στο βόρειο ημικύκλιο . Οι SL , SN

, τέμνουν το νότιο ημικύκλιο στα σημεία P , T

αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{SPT}$

#2

Ας είναι

το μέσο της χορδής

και

το κέντρο του κύκλου .

Επειδή $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ θα είναι: $\tan \theta = \tan \omega = \dfrac{{MS}}{{MO}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Ένα κλάσμα με θετικούς όρους γίνεται ελάχιστο στις περιπτώσεις:

: Ώρα εφαπτομένης 36.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

α) Με σταθερό αριθμητή μεγιστοποιείται ο παρανομαστής

β) Με σταθερό παρανομαστή ελαχιστοποιείται ο αριθμητής

γ) αν συμβεί ταυτόχρονα μέγιστος ο παρανομαστής και ελάχιστος ο αριθμητής .

Εδώ $OM \leqslant ON\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM \leqslant SN$ και άρα έχω την ελάχιστη τιμή του κλάσματος της

$\left( 1 \right)$ εφ’ όσον $ST \bot AB$ .

Αν τώρα $AB = 6k\,\,,\,\,k > 0$ , $\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt {9{k^2} - {k^2}} }}{k} = 2\sqrt 2 }$ η ελάχιστη τιμή που ζητώ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 20, 2020 8:19 pm
Ώρα εφαπτομένης 36.pngΜε τα σημεία τριχοτομούμε την οριζόντια διάμετρο ενός κύκλου . Σημείο κινείται

στο βόρειο ημικύκλιο . Οι , τέμνουν το νότιο ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{SPT}$

$\dfrac{SQ}{SB}= \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SQ= \dfrac{2}{3} SB$ και $\dfrac{NQ}{SA}= \dfrac{NB}{BA}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow NQ= \dfrac{1}{3} SA$

Αν $tan \omega = \dfrac{SB}{SA} =x$ ,τότε $tan \phi = \dfrac{NQ}{SQ}= \dfrac{ \dfrac{1}{3}SA }{ \dfrac{2}{3} SB}= \dfrac{1}{2x}$ και

$tan \theta =tan( \omega + \phi )=2x+ \dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{2x . \dfrac{1}{x} }=2 \sqrt{2}$ με το ίσον να πιάνεται όταν $tan \omega =x= \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

: ώρα εφαπτομένης 36.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές

nickchalkida · #4

Λίγο διαφορετική αιτιολόγηση από αυτή του Νίκου κατά τά άλλα τά ίδια.
Η $\tan\widehat{SPT}$ ελαχιστοποιείται όταν η $\widehat{SPT}$ ελαχιστοποιείται, όταν το τόξο SBT

ελαχιστοποιείται, όταν η χορδή

ελαχιστοποιείται, δηλαδή όταν $ST \perp AB$ . Τότε το σχήμα από όπου $\tan β = \sqrt{8}$

Ώρα εφαπτομένης 36

Ώρα εφαπτομένης 36

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

Μέλη σε σύνδεση