Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#1

: Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Από τα άκρα A, B

της διαμέτρου AOB

ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες Ax, By

και έστω

σημείο της Ax.

Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις Ax, By

στα

αντίστοιχα. Αν

είναι το

μέσο του

να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα της διαμέτρου ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες και έστω

σημείο της Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν είναι το

μέσο του να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$

Καλησπέρα!
Έστω ότι η

εφάπτετεται του ημικυκλίου στο

.Είναι $BD\perp AD,MO\perp AD\Rightarrow AD//MO$
Επίσης στο τρίγωνο ABP

η

ενώνει τα μέσα των AP,AB

άρα

που δίνει ότι P,D,B

συνευθειακά.Δηλαδή το

ανήκει στην πολική του

και από

η

θα είναι η πολική του

και το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Με χρήση του σχήματος

: Όμορφη καθετότητα.PNG (12.32 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Οι

τέμνονται στο

. Αρκεί οι οξείες γωνίες του τριγώνου FOQ

να έχουν άθροισμα μία ορθή.

Από σχολική άσκηση είναι $\widehat{MOQ}=\theta +\omega =90^\circ$ .Τότε $\widehat{PMO}=90^\circ +\widehat{AOM}=\widehat{AOQ}$ .

Ακόμη $\widehat{AOM}=\theta =\widehat{DQO}$ αφού $\theta +\omega =90^\circ$ . Έτσι $\dfrac{PM}{MO}=\dfrac{AM}{MO}=sin\theta =\dfrac{OD}{OQ}=\dfrac{OA}{OQ}$

και συνεπώς τα τρίγωνα POM,AOQ

είναι όμοια με $\widehat{POM}=\widehat{AQO}=x$

οπότε $\widehat{FOQ}+\widehat{FQO}=\widehat{FOQ}+x=\widehat{MOQ}=90^\circ$ άρα $OP \perp AQ$ . Φιλικά, Γιώργος.

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα της διαμέτρου ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες και έστω

σημείο της Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν είναι το

μέσο του να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$

Καλημέρα

Εστω AM=MP=b,QB=a,

Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο

$APQ,QP^{2}+AQ^{2}=2MQ^{2}+\dfrac{AP^{2}}{2} \Rightarrow QP^{2}=4b^{2}+a^{2}, PQ^{2}+AQ^{2}=4b^{2}+a^{2}+R^{2},(1), AP^{2}+OQ^{2}=4b^{2}+R^{2}+a^{2},(2), \hat{MOQ}=90^{0}, (1),(2)\Rightarrow AP^{2}+OQ^{2}=PQ^{2}+AO^{2}\Leftrightarrow AQ\perp OP$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα της διαμέτρου ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες και έστω

σημείο της Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν είναι το

μέσο του να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$

Στο σχήμα του Γιώργου (Μήτσιος)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle MOQ,OM\bot OQ$ (διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών) για το ύψος

προς την υποτείνουσα έχουμε:
$O{{D}^{2}}=DM\cdot DQ\Rightarrow OA\cdot \dfrac{AB}{2}=AM\cdot BQ=\dfrac{AP}{2}\cdot BQ\Rightarrow \ldots \dfrac{OA}{AP}=\dfrac{BQ}{AB}\Rightarrow OP\bot AQ$

#6

Πρώτα-πρώτα να συγχαρώ τον νεαρό Φωτιάδη για την ωραία λύση του .

Αν

το σημείο επαφής της

με το ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB} = 2R$

αυτό θ ανήκει και στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AMP} = 2r$

θα τις βλέπει δε υπό ορθές γωνίες, άρα τα σημεία B,D,P

είναι συνευθειακά.

Φέρνω τώρα και την από το

εφαπτομένη στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB}$ .

Ας είναι

το σημείο επαφής και

το σημείο που η

τέμνει την

.

: κι άλλη όμορφη καθετότητα_2.png (31.95 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Επειδή η

είναι μεσοκάθετος στο

το σημείο τομής τους

θα ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AMP}$ .

Επίσης η

είναι μεσοκάθετος στην

και έστω ότι την τέμνει στο

.

Θέτω $\boxed{BN = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,NQ = b}$

Τα ορθογώνια τρίγωνα $AOP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BNO$ είναι προφανώς όμοια.

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{a + b}}{r} = \frac{{BQ}}{{MP}} = \frac{{BD}}{{DP}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{P^2}}} = \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \hfill \\ \frac{R}{{2r}} = \frac{{OB}}{{AP}} = \frac{{BN}}{{AO}} = \frac{a}{R} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {R^2} = r\left( {a + b} \right) \hfill \\ {R^2} = 2ra \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{a = b}$

Συνεπώς η

αν προεκταθεί προς το

θα διέλθει από το

.

Παρατήρηση :

Οι κύκλοι $\left( {O,R} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,r} \right)$ είναι ορθογώνιοι ( Ίσως απ’ αυτό βρούμε κι άλλη λύση)

Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση