Κατασκευή τριγώνου

#1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε την πλευρά του BC=a,

το ύψος

και ότι

μία από τις προσκείμενες γωνίες της

είναι διπλάσια της άλλης.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 17, 2018 3:30 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε την πλευρά του το ύψος και ότι

μία από τις προσκείμενες γωνίες της είναι διπλάσια της άλλης.

Γειά σου Γιώργο
Εστω $\hat{C}=\hat{\omega },\hat{\Theta BC}=\hat{ABC}=\hat{\omega },\Theta M\perp BC,B\Theta =\Theta C,\hat{A\Theta B}=2\hat{\omega }$
Τα τρίγωνα $AB\Theta ,ABC$
είναι όμοια ,οπότε

$\dfrac{c}{b}=\dfrac{A\Theta }{c}=\dfrac{B\Theta }{a}=\dfrac{b-A\Theta }{a}\Rightarrow A\Theta =\dfrac{c^{2}} {b},(1), A\Theta =\dfrac{cb}{a+c},(2), (1),(2)\Rightarrow b^{2}-c^{2}=ac,(3), b^{2}-c^{2}=2a(DM)\Leftrightarrow DM=\dfrac{c}{2}, DC=\dfrac{a+c}{2},BD=\dfrac{a-c}{2}$
$\Theta M//AD\Rightarrow \Theta M=\dfrac{ah}{a+c},(*), \Theta M^{2}=B\Theta ^{2}-\frac{a^{2}}{4}=(\dfrac{ab}{a+c})^{2}-\dfrac{a^{2}}{4},(**), (*),(**)\Rightarrow 4b^{2}-4h^{2}=(a+c)^{2},(4), (3),(4)\Rightarrow 3c^{2}+2ac-(4h^{2}+a^{2})=0\Rightarrow c=\dfrac{-a+2\sqrt{a^{2}+3h^{2}}}{3}$

Συνεπώς το σημείο

ορίζεται ως η τομή της ευθείας $\epsilon //BC$
σε απόσταση

απο την

και του κύκλου κέντρου

και σταθερής ακτίνας

που ορίζεται απο την τελευταια σχέση ,με τη σχετική διερευνηση

Η σχέση (1)

είναι $A\Theta =\dfrac{c^{2}}{b}$

Γιάννης

S.E.Louridas · #3

Έστω

το μέσο της

και $MT \bot BC\;{\text{\kappa \alpha \iota }}$ με MT = h.

Αν θεωρήσουμε $D' = TM \cap AC,$ τότε το τρίγωνο D'BC

θα είναι ισοσκελές, άρα $\angle CBD' = \angle C \Rightarrow \angle D'BA = \angle C.$
Επομένως η BD'

θα είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle B.$ Έτσι προκύπτει $\displaystyle{\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{AD'}}{{D'C}} = \frac{{2AT}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{AT}} = 2.}$
Συνεπώς οδηγούμαστε στο ότι η κορυφή

προσδιορίζεται ως τομή της ημοευθείας

και του Απολλώνιου κύκλου

, με βάση την

και λόγο $\displaystyle{\frac{AB}{AT}=2}$ .

: ΑΣΔΦ.png (8.48 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

#4

Κατασκευή .

: Κατασκευή τριγώνου_1.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Η κορυφή

βρίσκεται σε σταθερή ευθεία

παράλληλη στο δοθέν ευθύγραμμο τμήμα a = BC

σε απόσταση

απ’ αυτή .

Φέρνω τη μεσοκάθετη στο

που τέμνει την ευθεία

στο

. Στο τμήμα

θεωρώ σημείο

τέτοιο ώστε $\boxed{CG = 2GM}$ .

Ο κύκλος (G,GC)

τέμνει τη ευθεία

σε δύο σημεία . A,A'

. Οπού

εκατέρωθεν της πιο πάνω μεσοκαθέτου. Το τρίγωνο ABC

είναι το ζητούμενο .

Απόδειξη

: κατασκευή τριγώνου_Βισβίκη_Απόδειξη.png (34.22 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής της μεσοκαθέτου στο

με την

. Η ευθεία

τέμνει την

στο

.

Αβίαστα προκύπτουν : το τετράπλευρο AECB

είναι ισοσκελές τραπέζιο και

$\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}}\,\,\,(1)$ .

Στο τρίγωνο CAE

το

είναι βαρύκεντρο αφού : $AM = ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CG = 2GE$ , οπότε αν η

κόψει την

στο

θα είναι το

μέσο του

και αφού Το τρίγωνο GAC

ισοσκελές ( GA,GC

ακτίνες κύκλου), η

είναι μεσοκάθετος στο

, συνεπώς ( και λόγω της (1)

)

$EC = EA \Rightarrow AB = AE \Rightarrow \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_6}}}$ .

Άρα για το τρίγωνο ABC

είναι : $\boxed{\widehat B = 2\widehat C}$ .

Στο βάθος του τούνελ είναι και ο Απολλώνιος κύκλος του αξεπέραστου (αξιότιμου και φίλου) Σωτήρη .

#5

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις. Ας δούμε μία ακόμη προσέγγιση.

: Κατασκευή τριγώνου 3.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Θεωρώ το τμήμα BC=a

και την παράλληλη σε αυτό και σε απόσταση

ευθεία $(\epsilon).$ Στο

υψώνω κάθετη στην

και παίρνω σημείο

ώστε

Γράφω τον κύκλο (K,h)

και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα BE,

όπως φαίνεται

στο σχήμα, που τέμνει την $(\epsilon)$ στο

Το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο. Η απόδειξη είναι απλή.

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 9:41 am
Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις. Ας δούμε μία ακόμη προσέγγιση. Κατασκευή τριγώνου 3.png
Θεωρώ το τμήμα και την παράλληλη σε αυτό και σε απόσταση ευθεία $(\epsilon).$ Στο υψώνω κάθετη στην

και παίρνω σημείο ώστε Γράφω τον κύκλο και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα όπως φαίνεται

στο σχήμα, που τέμνει την $(\epsilon)$ στο Το είναι το ζητούμενο τρίγωνο. Η απόδειξη είναι απλή.

Μιλάμε για Θεϊκή λύση

S.E.Louridas · #7

Επίσης με βάση το σχήμα στη πρώτη ημέτερη παρέμβαση με "απαλλαγή" από τον Απολλώνιο, θα μπορούσαμε να έχουμε και
την κατασκευή που ακολουθεί:

Έστω

η τομή της ημιευθείας

με τον κύκλο (K,2KT).

Η κορυψή

είναι σημείο της ημιευθείας

τέτοιο που η

να είναι παράλληλη στην B'K.

: ΑΣΔΦΧ.png (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Κατασκευή τριγώνου

Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση