Ορθή σκέψη

KARKAR · #1

: Ορθή σκέψη.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 1492 φορές

. Στις παράλληλες ευθείες $\varepsilon,\varepsilon'$ θεωρούμε σημεία A,B

. Η μεσοκάθετη του

,

τέμνει την $\varepsilon$ στο

. Ο κύκλος (O,OA)

τέμνει την $\varepsilon'$ στα σημεία

και

.

Ο κύκλος (O,A,S)

, τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι : $AS\perp SP$ .

harrisp · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 10, 2018 1:03 pm
Ορθή σκέψη.png . Στις παράλληλες ευθείες $\varepsilon,\varepsilon'$ θεωρούμε σημεία . Η μεσοκάθετη του ,

τέμνει την $\varepsilon$ στο . Ο κύκλος τέμνει την $\varepsilon'$ στα σημεία και .

Ο κύκλος , τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : $AS\perp SP$ .

Απο την παραλληλία και από το ισοσκελές OAB

παίρνουμε ότι η

είναι η διχοτόμος της $\widehat {OBS}$ . Απο το εγγράψιμο AOSP

και το ισοσκελές OSB

παίρνουμε οτι και η

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {OSB}$ άρα και η

είναι η διχοτόμος της $\widehat {SOB}$ και άρα είναι και ύψος στο ισοσκελές OSB

. Εύκολα από το εγγράψιμο βλέπουμε οτι $\widehat {ASP}=\widehat {SOP}+\widehat {OSB}=90^o$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#3

Ας αγνοήσουμε αρχικά το δεύτερο κύκλο .

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο (O,OA)

.Το τετράπλευρο ASBD

είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Έτσι αν

το σημείο τομής των διαγωνίων του θα είναι αυτές ίσες και τα τρίγωνα

$PAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PSB\,$ είναι ισοσκελής , όπως λόγω μεσοκαθέτου και το OAB

.

Στο ισοσκελές $\vartriangle PAD$ η διάμεσος

είναι και ύψος

: Ορθή σκέψη.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές

Έχω τώρα :

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$ αλλά αφού AD//SB

θα είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_5}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}}$ .

Έτσι λοιπόν θα έχω $\displaystyle \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}\, = \,\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}}$

Το τετράπλευρο OPBD

είναι εγγράψιμο , άρα και το AOPS

είναι εγγράψιμο διαμέτρου

και άρα $AS \bot SP$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 10, 2018 1:03 pm
Ορθή σκέψη.png . Στις παράλληλες ευθείες $\varepsilon,\varepsilon'$ θεωρούμε σημεία . Η μεσοκάθετη του ,

τέμνει την $\varepsilon$ στο . Ο κύκλος τέμνει την $\varepsilon'$ στα σημεία και .

Ο κύκλος , τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : $AS\perp SP$ .

Αν $\displaystyle SO \cap \left( O \right) = C$ θα είναι $\displaystyle \angle x = \angle y = \angle \omega \Rightarrow OP//CB \Rightarrow OP \bot AO$ .Άρα $\displaystyle \boxed{AS \bot PS}$

: ορθή σκέψη.png (19.35 KiB) Προβλήθηκε 1406 φορές

Ορθή σκέψη

Ορθή σκέψη

Re: Ορθή σκέψη

Re: Ορθή σκέψη

Re: Ορθή σκέψη

Μέλη σε σύνδεση