Παράγωγος

ann79 · #1

Καλημέρα. Πως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{a},a\in R-\mathbb{Z}$ για a>1

είναι παραγωγίσιμη και στο

με παράγωγο

;

Christos.N · #2

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης;

MarKo · #3

ann79 έγραψε:Καλημέρα. Πως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{a},a\in R-\mathbb{Z}$ για είναι παραγωγίσιμη και στο με παράγωγο ;

Το πεδίο ορισμού είναι το $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ εφόσον $\displaystyle{\alpha > 1}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}}$ .

Με τον ορισμό της παραγώγου εφόσον το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού , έχουμε:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^\alpha } - 0}} {{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{\alpha - 1}} = 0 = f'\left( 0 \right)}$

#4

MarKo έγραψε:
ann79 έγραψε:Καλημέρα. Πως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{a},a\in R-\mathbb{Z}$ για είναι παραγωγίσιμη και στο με παράγωγο ;
Το πεδίο ορισμού είναι το $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ εφόσον $\displaystyle{\alpha > 1}$ με $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}}$ .

Με τον ορισμό της παραγώγου εφόσον το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού , έχουμε:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^\alpha } - 0}} {{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{\alpha - 1}} = 0 = f'\left( 0 \right)}$

Μάριε, καλή η πρόθεσή σου να απαντήσεις. Έχεις όμως σκεφθεί ότι όταν απαντάς σε απολύτως τετριμμένα θέματα όπου ο ερωτών δεν αφιέρωσε ούτε γραμμάριο ουσιαστικής σκέψης, τότε κάνεις περισσότερη ζημιά από καλό;

Είναι πολύ ουσιαστικότερο να δώσουμε μία μικρή υπόδειξη παρά έτοιμη τροφή που ενθαρρύνει την ιδέα του μη σκέπτεσθαι.

Δώσε σε κάποιον ένα ψάρι, θα έχει τροφή για σήμερα. Μάθε τον να ψαρεύει, θα έχει τροφή για πάντα.

MarKo · #5

Κύριε Λάμπρου έχετε δίκαιο σε αυτά που λέτε.

Θεώρησα ότι ξέρει την απάντηση και ήθελε την επιβεβαίωση, μάλλον δεν ισχύει.

Παπαστεργίου Κώστας · #6

ann79 έγραψε:Καλημέρα. Πως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{a},a\in R-\mathbb{Z}$ για είναι παραγωγίσιμη και στο με παράγωγο ;

Νομίζω πως είναι ευκαιρία να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα σχετικά με τη συνάρτηση $f(x)=x^{a}$ .
Όταν γενικώς βλέπουμε $f(x)=x^{a}$ εννοούμε $f(x)=e^{alnx}$ η οποία είναι ορισμένη μόνο για x> 0

. Είναι το ευρύτερο δυνατό σύνολο όπου η $f(x)=x^{a}$ έχει έννοια ανεξαρτήτως

.
Στη γενική αυτή περίπτωση μπορούμε να μιλάμε για παράγωγο ${f}'(x)=ax^{a-1}$ μόνο για x> 0

Όμως για κάποιες τιμές του

αυτό το Π.Ο. μπορεί να επεκταθεί όπως πχ για $a=\frac{2}{3}$ όπου η $x^{\frac{2}{3}}$ έχει έννοια σ όλο το

.

Στην προκειμένη περίπτωση μπορούμε να επεκταθούμε και στο 0. Ακριβέστερα να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση

με
$h(x)=f(x)=x^{a} ,x> 0$ και h(0)=0

και αυτής να ζητήσουμε την παράγωγο στο μηδέν δια του ορισμού όπως πιο πάνω. Μάλιστα είναι ${h}'(0)=0=a0^{a-1}$ οπότε επεκτείνεται και ο προηγούμενος τύπος παραγωγίσεως.
Θα μπορούσαμε να ξεπεράσουμε τα όρια και να γίνουμε κουραστικοί μιλώντας για συναρτήσεις του τύπου $(f(x))^{a}$ . Ίσως άλλη φορά.
ΠΚ

Παράγωγος

Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση