Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

#1

: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα.png (48.75 KiB) Προβλήθηκε 1981 φορές

Έστω $\left( N \right)$ (κέντρου ) ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $D\equiv \left( N \right)\cap AC,D\ne L,E\equiv \left( N \right)\cap AB,E\ne N$ . Να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά, όπου είναι το κέντρο του περίκυκλου $\left( O \right)$ του $\vartriangle ABC$ και $T\equiv MD\cap LE$

Στάθης

#2

Όντως, είναι προφανής...

Κώστας Βήττας.

#3

: μια προφανής συνευθειακότητα.png (44.12 KiB) Προβλήθηκε 1953 φορές

Ο κύκλος

είναι ο κύκλος Euler

του $\vartriangle ABC$ ενώ η ευθεία

είναι η του

Euler

για το ίδιο τρίγωνο και διέρχεται από το ορθόκεντρο του

.

Ας είναι $J\,\,,G$ τα σημεία τομής της

με τις $AB,\,\,AC$

Έστω ${T_1}$ το σημείο τομής των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$ . Η πολική του ${T_1}$ ως προς τον κύκλο

(N)

, διέρχεται από το σημείο τομής των $DJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MG$ και

είναι η κάθετη από το

στην

έστω σε σημείο

.

Ομοίως αν ${T_2}$ το σημείο τομής των $EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$ είναι πάλι η κάθετη από το

στην

. Άρα τα σημεία ${T_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_2}$ ταυτίζονται . Δηλαδή οι ευθείες $DM\,\,,EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$

Συντρέχουν σε σημείο

.

#4

Από την ομοιότητα των τριγώνων TEM

και

έπεται άμεσα ότι οι προβολές των T,
N, O

στις

δημιουργούν τμήματα ανάλογα.

Κώστας Παππέλης · #5

Σε μισή γραμμούλα με Πασκαλάκο με τα αντιδιαμετρικά των

και

#6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω $\left( N \right)$ (κέντρου ) ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $D\equiv \left( N \right)\cap AC,D\ne L,E\equiv \left( N \right)\cap AB,E\ne N$ . Να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά, όπου είναι το κέντρο του περίκυκλου $\left( O \right)$ του $\vartriangle ABC$ και $T\equiv MD\cap LE$

Στάθης

: Προφανής συνευθειακότητα.png (62.52 KiB) Προβλήθηκε 1856 φορές

Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( B,M,E \right)\,\,\And \,\,\left( C,L,D \right)$ προκύπτει ότι τα σημεία $BL\cap CM\equiv G$ (βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ ) , $BD\cap CE\equiv H$ (ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ ) και $MD\cap LE\equiv T$ είναι συνευθειακά, και με συνευθειακά (στην Ευθεία Euler του $\vartriangle ABC$ ) θα είναι $T,\left( H \right),N,\left( G \right),O$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

Re: Μια προφανή (;) συνευθειακότητα

Re: Μια προφανής (;) συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση