Άγνωστης προέλευσης

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy-1}}$

#2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy-1}}$

Περιορισμοί είναι $x\ge 1, \, y\ge 1$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο γίνεται $2\sqrt {(x-1)(y-1)} = (x-1)(y-1)$ . Άρα λύσεις οι $(1, y), \, (x,1)$ , όπου x,y

οτιδήποτε. Επίσης, υψώνοντας ξανά στο στο τετράγωνο έχουμε και την περίπτωση 4 = (x-1)(y-1)

. Από τους παράγοντες του

εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις (3,3), (5,2), (2,5)

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy-1}}$
Περιορισμοί είναι $x\ge 1, \, y\ge 1$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο γίνεται $2\sqrt {(x-1)(y-1)} = (x-1)(y-1)$ . Άρα λύσεις οι $(1, y), \, (x,1)$ , όπου οτιδήποτε. Επίσης, υψώνοντας ξανά στο στο τετράγωνο έχουμε και την περίπτωση . Από τους παράγοντες του εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις .

Ορέστης Λιγνός · #4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν ξέρω αν έχει ξαναμπεί. Αν αληθεύει, παρακαλώ αυτόν που θα τη βρει να μου στείλει Π.Μ.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy-1}}$

Αν

ή

, λύσεις είναι οι (x,y)=(1,k)

και

, με $k \in \mathbb{N}$ .

Αν x=2

ή

, τότε

.

Έστω $x,y \geqslant 3$ .

Από Cauchy - Schwarz, $\sqrt{xy-1} =\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \leqslant \sqrt{2(x+y-2)} \Rightarrow xy \leqslant 2x+2y-3 \Rightarrow$

$(x-2)(y-2) \leqslant 1$ ,

άτοπο, αφού $x,y \geqslant 3 \Rightarrow (x-2)(y-2) \geqslant 1 \cdot 1=1$ .

Υ.Γ. Πρέπει να υπάρχει κάτι πιο απλό, δεν το έχω ψάξει.

Υ.Γ. 2 Τώρα βλέπω την λύση του κύριου Μιχάλη, και καταλαβαίνω ότι έκανα τα εύκολα-δύσκολα.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν ξέρω αν έχει ξαναμπεί. Αν αληθεύει, παρακαλώ αυτόν που θα τη βρει να μου στείλει Π.Μ.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy-1}}$
Αν ή , λύσεις είναι οι και , με $k \in \mathbb{N}$ .

Αν ή , τότε .

Έστω $x,y \geqslant 3$ .

Από Cauchy - Schwarz, $\sqrt{xy-1} =\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \leqslant \sqrt{2(x+y-2)} \Rightarrow xy \leqslant 2x+2y-3 \Rightarrow$

$(x-2)(y-2) \leqslant 1$ ,

άτοπο, αφού $x,y \geqslant 3 \Rightarrow (x-2)(y-2) \geqslant 1 \cdot 1=1$ .

Υ.Γ. Πρέπει να υπάρχει κάτι πιο απλό, δεν το έχω ψάξει.

Μπράβο Ορέστη!!!

#6

Νικόλα,

ευχαριστώ μεν για το σχόλιο στη λύση μου αλλά δεν υπάρχει λόγος να σχολιάζεις κάθε φορά ως

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:

λύσεις που είναι στάνταρ και χωρίς ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Άσε το

για λύσεις που είναι πραγματικά

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Νικόλα,

ευχαριστώ μεν για το σχόλιο στη λύση μου αλλά δεν υπάρχει λόγος να σχολιάζει κάθε φορά ως
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:

λύσεις που είναι στάνταρ και χωρίς ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Άσε το για λύσεις που είναι πραγματικά

Εντάξει.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Άρα λύσεις οι $(1, y), \, (x,1)$ , όπου οτιδήποτε.

Κύριε Λάμπρου, καλησπέρα!

Το συγκεκριμένο μού είχε διαφύγει... Δεν ξέρω γιατί, αλλά ενώ πήρα $x=1 \; \eta \;y=1$ , το εξέλαβα ως x=y

και έβαλα μόνο τις λύσεις (x,y)=(1,1)

.

Από αυτό ίσως σε ένα διαγωνισμό χάνω μονάδες...

Άγνωστης προέλευσης

Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Re: Άγνωστης προέλευσης

Μέλη σε σύνδεση