GERGONNE-LEMOINE

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Δίνεται τρίγωνο
Έστω ( ) τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με τις πλευρές του.
1. Να αποδείξετε ότι οι διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Σημείο Gergonne)
2. Να αποδείξετε ότι το σημείο Gergonne του τριγώνου είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δίνεται τρίγωνο
Έστω ( ) τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με τις πλευρές του.
1. Να αποδείξετε ότι οι διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Σημείο Gergonne)
2. Να αποδείξετε ότι το σημείο Gergonne του τριγώνου είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου

Gergonne - Lemoine.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 1567 φορές

1. Από εφαπτομενικά τμήματα στον ισχύει:

Οπότε άρα σύμφωνα με το Θεώρημα του Ceva προκύπτει ότι .

2. Επειδή είναι εφαπτόμενες του περίκυκλου του τριγώνου προκύπτει ότι είναι η διεύθυνση της συμμετροδιαμέσου του και ομοίως οι οι συμμετροδιαμέσος και συμμετροδιαμέσος του και άρα το είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου

Στάθης

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

1) Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα . Για να συντρέχουν πρέπει:

που ισχύει καθώς .

2)

Αρχικά θα αποδείξουμε το εξής βασικό λήμμα:

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα και .
Τότε η ευθεία είναι η συμμετροδιάμεσος του από την κορυφή .

Έστω σημείο της έτσι ώστε η να είναι ισογώνια της . Αρκεί να δείξουμε πως είναι το μέσο της .

Πράγματι από νόμο ημιτόνων έχουμε ότι:



Όμοια: .

Όμως άρα .

συμμετροδιάμεσος-εφαπτομένες.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 1529 φορές

Συνεχίζοντας στο αρχικό ερώτημα:

Στο τρίγωνο DEF οι και είναι εφαπτόμενες με η τομή τους. Άρα η είναι η συμμετροδιάμεσος του DEF από την κορυφή .

Όμοια προκύπτει ότι η και η είναι συμμετροδιαμέσοι του DEF. Άρα το σημείο τομής των και , δηλαδή το είναι το σημείο του DEF.

Υ.Γ. Με πρόβαλε ο κύριος Στάθης!

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Νομίζω ότι η λύση που δόθηκε από το Στάθη και το Διονύση καλύπτει πλήρως το θέμα...
Θα κάνω μια προσπάθεια για να αναδείξω το σημείο Gergonne , νομίζω ότι αξίζει τον κόπο...
Σήμερα έκανα την αρχή.