Αναζήτηση χορδής

#1

: Αναζήτηση χορδής.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές

Δίνεται χορδή

κάθετη στη διάμετρο

ενός κύκλου και έστω τυχαίο σημείο

του μικρού τόξου $\overset\frown{BC}$

διαφορετικό των B, C, L.

H

τέμνει την

στο

και η

τον κύκλο στο

α) Να δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο.

β) Αν AB=4, AC=7, BC=9,

να υπολογίσετε το μήκος της χορδής AE.

simantiris j. · #2

Γεια σας κ.Γιώργο!Μια ιδέα για το α)
Θα δείξω ότι η

περνά από το σημείο τομής των εφαπτομένων στα B,C

.Έστω $S\equiv AE \cap KL$ και $T\equiv BC \cap KL$ .Αρκεί τα S,T

να είναι αρμονικά συζυγή των K,L

ή αφού $\angle KAL=90^{\circ}$ αρκεί η

να διχοτομεί την $\angle SAT$ .
Είναι όμως $\angle TAL=\angle DTL=\angle DEC+\angle DCE=\angle DEC+\angle DCL=\angle ECL=\angle SAL$
(χρησιμοποιήθηκαν το εγγράψιμο DALT

και ότι

μέσο του τόξου

),που δίνει το ζητούμενο.

KARKAR · #3

: visv.png (21.97 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Το ότι τα

είναι αρμονικά συζυγή των K,L

, προκύπτει και από τις τρεις μπλε

γωνίες , οι οποίες καθιστούν την

εξωτερική διχοτόμο του τριγώνου ATS

.

Με τους γνωστούς τύπους βρίσκω : $R=\dfrac{21\sqrt{5}}{10}$ . Αξιοποιώντας τις ίσες ροζ γωνίες ,

το γνωστό $\cos\theta$ , καθώς και το διπλάσιο συνημίτονο και τον νόμο συνημιτόνων ,

βρίσκω ότι $BE=\dfrac{36}{7}$ . Τώρα ο Πτολεμαίος Α' , δίνει : $9\cdot AE=36+36$ , άρα : AE=8

Αναζήτηση χορδής

Αναζήτηση χορδής

Re: Αναζήτηση χορδής

Re: Αναζήτηση χορδής

Μέλη σε σύνδεση