Επέκταση θεωρήματος Θαλή

KARKAR · #1

: Επέκταση θεωρήματος Θαλή.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Αν το τμήμα

ήταν παράλληλο προς το

, που θα ήταν το σημείο

;

Τότε , μεταβάλλοντας τη γωνία $\hat{A}$ , ο λόγος $\dfrac{BC}{DE}$ , θα παρέμενε σταθερός ( γιατί ; )

Με τα δεδομένα , όμως , του σχήματος , μεταβάλλοντας τη γωνία $\hat{A}$ , μεταβάλλεται

κι ο λόγος $\dfrac{BC}{DE}$ . Βρείτε τα βέλτιστα φράγματα αυτού του λόγου .

dement · #2

Από νόμο συνημιτόνων έχουμε $BC^2 = 170 - 154 \cos \hat{A}$ και $DE^2 = 34 - 30 \cos \hat{A}$ . Έτσι, $\displaystyle \left( \frac{BC}{DE} \right)^2 = \frac{170 - 154 \cos \hat{A}}{34 - 30 \cos \hat{A}}$ . Λόγω μονοτονίας, τα ακρότατα της παράστασης θα βρίσκονται στις ακρότατες τιμές του $\cos \hat{A}$ .

Για $\cos \hat{A} = 1$ έχουμε $\displaystyle \left( \frac{BC}{DE} \right)^2 = 4$ ενώ για $\cos A = -1$ έχουμε $\displaystyle \left( \frac{BC}{DE} \right)^2 = \frac{81}{16}$ .

Έτσι, $\displaystyle \frac{BC}{DE} \in \left( 2, \frac{9}{4} \right)$ .

KARKAR · #3

: Επέκταση θεωρήματος Θαλή.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Ακριβώς ! Θα μπορούσαμε να δούμε τι "παίζει" όταν η γωνία $\theta$ τείνει να μηδενισθεί

μετακινώντας το

στο παρατιθέμενο σχήμα . Όμοια και όταν $\theta \rightarrow \pi$ .

Αλλά τη μονοτονία του λόγου την πιστοποίησα με την ίδια συνάρτηση . Δεν ξέρω αν

μπορούμε με καθαρά γεωμετρικές μεθόδους να την αποδείξουμε

S.E.Louridas · #4

Προσωπικά το έλυσα ως εξής:
Από το θεώρημα του Stewart στα τρίγωνα AEB, ABC

παίρνουμε $7D{E^2} = 3E{B^2} + 16$ και $5B{C^2} = 11E{B^2} + 36,$ από όπου προκύπτει $\displaystyle{\frac{5}{7}\frac{{E{B^2}}}{{D{E^2}}} = \frac{{11E{B^2} + 36}}{{3E{B^2} + 16}} = \frac{{11}}{3} - \frac{{68}}{{9E{B^2} + 48}},$ με $2 \leqslant EB \leqslant 12}$ και έτσι καταλήγουμε $\displaystyle{2 \leqslant \frac{{BC}}{{DE}} \leqslant \frac{9}{4}.}$

Επέκταση θεωρήματος Θαλή

Επέκταση θεωρήματος Θαλή

Re: Επέκταση θεωρήματος Θαλή

Re: Επέκταση θεωρήματος Θαλή

Re: Επέκταση θεωρήματος Θαλή

Μέλη σε σύνδεση