Στυλάτη (για φέτος)

erxmer · #1

Έστω $f : R \to R$ συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f(0)=1

και

, για
κάθε $x \in R$ .
Δ1. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=\sqrt{x^2+1}-x, x \in R}$

Δ2. Να βρείτε τα όρια:
i) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\left(x^3sin\frac{1}{x^3} \right)}$

ii) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\left[ \left(f(x)+x-1 \right)sin\frac{1}{x}\right]}$

Δ3. Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f

, που είναι παράλληλη ευθεία x+y-2=0

Δ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον $a \in (-1,1)$ ωστε f'(a)+2af(a)=a^2f'(a)

sot arm · #2

Δ1)Η σχέση γράφεται:
$\displaystyle f^{2}(x)+2xf(x)+x^{2}=x^{2}+1 \Leftrightarrow (f(x)+x)^{2}=x^{2}+1$
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
$\displaystyle f(x)+x=-\sqrt{x^{2}+1}$
και $\displaystyle f(x)+x=\sqrt{x^{2}+1}$
Εκ των οποίων, μόνο η δεύτερη πληρεί το f(0)=1 , άρα είναι και η δεκτή.
Δ2)
i) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^{3}=0$ , αφού γνωρίζω ότι : $\displaystyle -1\leq \sin \frac{1}{x^{3}} \leq 1$ , το ζητούμενο όριο είναι μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη άρα τελικά είναι ίσο με 0.
ii)Όμοια και με πριν, $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)+x-1=0$ Και γνωρίζω: $\displaystyle -1\leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ το ζητούμενο όριο είναι πάλι μηδέν.
Δ3)Αρχικά έχω: $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1$
Η ευθεία αυτή έχει συντελεστή διευθύνσεως -1, άρα για να είναι η εφαπτόμενη παράλληλη πρέπει:
$\displaystyle f'(x_{0})=-1 \Leftrightarrow \frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+1}}=0 \Leftrightarrow x_{0}=0$ και η εφαπτομένη είναι:
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0) \Leftrightarrow y+x-1=0$
Δ4)Θεωρώ την συνάρτηση:
$\displaystyle g(x)=f'(x)+2xf(x)-x^{2}f'(x)$
Τότε: $\displaystyle g(0)=f'(0)=-1 <0$
Και: $\displaystyle g(1)=2f(1)=2\sqrt{2}-2 >0$
Από θεώρημα Bolzano το ζητούμενο έπεται άμεσα.

sifis80 · #3

Το Δ1 δεν είναι σωστό έτσι. Η Η(χ)= f(x)+x δεν μηδενίζει και είναι συνεχής , άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο και Η(0)=1>0 , άρα καταλήγουμε στη ζητούμενη συνάρτηση.

Στυλάτη (για φέτος)

Στυλάτη (για φέτος)

Re: Στυλάτη (για φέτος)

Re: Στυλάτη (για φέτος)

Μέλη σε σύνδεση