Ασκήσεις στην Ανάλυση!

BAGGP93 · #121

Άσκηση 36

Ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^{n}}$ με τη συνήθη τοπολογία, λέγεται απλά συνεκτικό,

αν κάθε κλειστή καμπύλη του $\displaystyle{U}$ είναι ομοτοπική με μια σταθερή καμπύλη του $\displaystyle{U}$ .

Να εξετάσετε αν το $\displaystyle{\mathbb{R}^2-\left\{(0,0)\right\}\subseteq \mathbb{R}^2}$ είναι απλά συνεκτικό.

nickthegreek · #122

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 36

Ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^{n}}$ με τη συνήθη τοπολογία, λέγεται απλά συνεκτικό,

αν κάθε κλειστή καμπύλη του $\displaystyle{U}$ είναι ομοτοπική με μια σταθερή καμπύλη του $\displaystyle{U}$ .

Να εξετάσετε αν το $\displaystyle{\mathbb{R}^2-\left\{(0,0)\right\}\subseteq \mathbb{R}^2}$ είναι απλά συνεκτικό.

Bαγγέλη καλησπέρα!

Η απάντηση είναι πως δεν είναι απλά συνεκτικό. Παρατηρούμε ότι αν θεωρήσουμε τον μοναδιαίο κύκλο S^1

η συνάρτηση $f(x)= x / \lvert \lvert x \rvert \rvert$ αποτελεί μια συστολή παραμορφώσεως (deformation retraction) του $\displaystyle{\mathbb{R}^2-\left\{(0,0)\right\}\subseteq \mathbb{R}^2}$ στο S^1

, συνεπώς οι θεμελιώδεις ομάδες είναι ισόμορφες. Ωστόσο $\pi_1(S^1) \approx \mathbb{Z}$ και άρα η θεμελιώδης ομάδα είναι μη τετριμμένη. Δεν έχουμε λοιπόν απλή συνεκτικότητα.

Ωστόσο, η παραπάνω δεν είναι τόσο άσκηση ανάλυσης όσο αλγεβρικής τοπολογίας

Φιλικά,
Νίκος

BAGGP93 · #123

'Ασκηση 37 (Με άρωμα Γεωμετρίας)

Έστωσαν $\displaystyle{x\,,y:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,t\mapsto x(t)\,,t\mapsto y(t)}$ πραγματικές συναρτήσεις τάξεως $\displaystyle{C^{\infty}}$

με $\displaystyle{\left(x(t),y(t)\right)\neq \overline{0}\,,\forall\,t\in\left[0,1\right]}$ . Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{a\,,b:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}}$

τεμε τύπους $\displaystyle{a(t)=\dfrac{x(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}\,,b(t)=\dfrac{y(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\cos\,\phi_{0}=a(0)\,,\sin\,\phi_{0}=b(0)}$ για κάποιο $\displaystyle{\phi_0\in\mathbb{R}}$ .

Αποδείξτε ότι υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{\phi:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε

$\displaystyle{\cos\,\phi(t)=a(t)\,,\sin\,\phi(t)=b(t)\,,\forall\,t\in\left[0,1\right]}$ .

sokratis lyras · #124

sokratis lyras έγραψε:Ασχολούμαι με μία εργασία αυτόν τον καιρό, και συνάντησα ένα πραγματικά πανέμορφο πρόβλημα:

ΑΣΚΗΣΗ 27

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο στο επίπεδο, του οποίου οι πλευρές-ευθείες είναι καθρέφτες (φανταστείτε τους 'ιδανικούς').

Από εσωτερικό σημείο του τετραγώνου, εκτοξεύεται μια ακτίνα φωτός η οποία ανακλάται συνεχώς λόγω των καθρεφτών,εσωτερικά του τετραγώνου.Να περιγραφεί η κίνηση της ακτίνας.

Υ.Γ. Το ερώτημα είναι πολύ 'φλου'.Για τυχόν διευκρινίσεις, ρωτήστε.

Επαναφορά, είναι ωραίο!

#125

sokratis lyras έγραψε:
Επαναφορά, είναι ωραίο!

Ναι, πράγματι είναι ενδιαφέρον θέμα. Προσθέτω ότι έμμεσα το απάντησα (δύο σελίδες πιο πίσω, ημερομηνία 4 Μαίου). Η τροχιά είναι είτε περιοδική είτε πυκνή ανάλογα αν η γωνία πρόσπτωσης είναι ρητό ή άρρητο πολλαπλάσιο του π. Το πρώτο τέτοιο αποτέλεσμα είναι του Orerme τον Μεσαίωνα, όπως φαίνεται στην παραπομπή που ανέφερα.

Tolaso J Kos · #126

Άσκηση 38

Δίδω , κατά τη γνώμη μου, μία ωραία άσκηση!

Ας δηλώσουμε με $\mathcal{C}$ το σύνολο ${\rm Cantor}$ . Η συνάρτηση $\chi_C:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ που ορίζεται ως

στο $\mathcal{C}$ και

αλλού είναι ${\rm Riemann}$ ολοκληρώσιμη. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \, {\rm d}x }$ ;

Στη συνέχεια να γίνει η ίδια άσκηση αν η $\chi_C$ οριστεί ως πάνω στο σύνολο ${\rm Cantor}$ και αλλού.

sokratis lyras · #127

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 38

Δίδω , κατά τη γνώμη μου, μία ωραία άσκηση!

Ας δηλώσουμε με $\mathcal{C}$ το σύνολο ${\rm Cantor}$ . Η συνάρτηση $\chi_C:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ που ορίζεται ως στο $\mathcal{C}$ και αλλού είναι ${\rm Riemann}$ ολοκληρώσιμη. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \, {\rm d}x }$ ;

Στη συνέχεια να γίνει η ίδια άσκηση αν η $\chi_C$ οριστεί ως πάνω στο σύνολο ${\rm Cantor}$ και αλλού.

Το σύνολο του Cantor έχει μέτρο μηδέν και αφού δεν αλλάζει η τιμή του ολοκληρώματος αν πειράξουμε τη συνάρτηση σε ένα σύνολο μέτρου μηδέν, το ζητούμενο έπεται !

BAGGP93 · #128

Άσκηση 39 (Ανάλυση-Άλγεβρα-Γεωμετρία)

Θεωρούμε την απεικόνιση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2\,,f(t)=\left(\sin\,t,\dfrac{\sin\,(2\,t)}{2}\right)}$ .

Είναι η $\displaystyle{f}$ εμβάπτιση του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ ;

(Με τον όρο εμβάπτιση εννοούμε ότι το διαφορικό σε κάθε σημείο είναι απεικόνιση 1-1).

Είναι αυτή η απεικόνιση εμφύτευση ; (δηλαδή η $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow f(\mathbb{R})}$ να είναι ομοιομορφισμός)

Είναι η $\displaystyle{f|_{\left(0,2\,\pi\right)}}$ εμφύτευση ; Αν όχι, που εμφανίζεται πρόβλημα ;

Υ.Γ : Το τελευταίο ερώτημα με δυσκόλεψε.

Tolaso J Kos · #129

Άσκηση 40

Για μία ακολουθία $A=(a_0, a_1, a_2, \dots )$ πραγματικών αριθμών ας δηλώνει η $SA=(a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, \dots)$ την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων $a_0+a_1+a_2 + \cdots$ . Μπορεί κάποιος να βρει μια μη μηδενική ακολουθία

για την οποία οι ακολουθίες $A, SA, SSA, SSSA, \dots$ να είναι όλες συγκλίνουσες;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BAGGP93 · #130

BAGGP93 έγραψε:'Ασκηση 37 (Με άρωμα Γεωμετρίας)

Έστωσαν $\displaystyle{x\,,y:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,t\mapsto x(t)\,,t\mapsto y(t)}$ πραγματικές συναρτήσεις τάξεως $\displaystyle{C^{\infty}}$

με $\displaystyle{\left(x(t),y(t)\right)\neq \overline{0}\,,\forall\,t\in\left[0,1\right]}$ . Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{a\,,b:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}}$

τεμε τύπους $\displaystyle{a(t)=\dfrac{x(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}\,,b(t)=\dfrac{y(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\cos\,\phi_{0}=a(0)\,,\sin\,\phi_{0}=b(0)}$ για κάποιο $\displaystyle{\phi_0\in\mathbb{R}}$ .

Αποδείξτε ότι υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{\phi:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε

$\displaystyle{\cos\,\phi(t)=a(t)\,,\sin\,\phi(t)=b(t)\,,\forall\,t\in\left[0,1\right]}$ .

Γεια σας. Γράφω μια λύση για αυτήν και επαναφέρω τις Ασκήσεις 39,40 .

Είναι, $\displaystyle{a^2(t)+b^2(t)=\dfrac{x^2(t)}{x^2(t)+y^2(t)}+\dfrac{y^2(t)}{x^2(t)+y^2(t)}=1\,,t\in\left[0,1\right]}$ .

Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια διαφορίσιμη συνάρτηση, θα ίσχυε:

$\displaystyle{a^\prime(t)=-\phi^\prime(t)\,\sin\,\phi(t)\,,b^\prime(t)=\phi^\prime(t)\,\cos\,\phi(t)\,,0\leq t\leq 1}$ και έτσι :

$\displaystyle{a^\prime(t)\,b(t)=-\phi^\prime(t)\,\sin^2\,\phi(t)\,,a(t)\,b^\prime(t)=\phi^\prime(t)\,\cos^2\,\phi(t)\,,0\leq t\leq 1}$ άρα :

$\displaystyle{a(t)\,b^\prime(t)-a^\prime(t)\,b(t)=\phi^\prime(t)}$ .

Γι' αυτό, ορίζουμε $\displaystyle{\phi:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,\phi(t)=\int_{0}^{t}\left(a(u)\,b^\prime(u)-a^\prime(u)\,b(u)\right)\,\mathrm{d}u+\phi_{0}$

Αυτή είναι συνεχής και διαφορίσιμη στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ με $\displaystyle{\phi^\prime(t)=a(t)\,b^\prime(t)-a^\prime(t)\,b(t)\,,o\leq t\leq 1\,,\phi(0)=\phi_{0}$ .

Όμως, $\displaystyle{a^2(t)+b^2(t)=1\,,0\leq t\leq 1}$ και παραγωγίζοντας βρίσκουμε : $\displaystyle{a(t)\,a^\prime(t)+b(t)\,b^\prime(t)=0\,,0\leq t\leq 1$

και χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση βρίσκουμε :

$\displaystyle{\forall\,t\in\left[0,1\right]: \left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\,\left(a(u)\,\cos\,\phi(u)+b(u)\,\sin\,\phi(u)\right)\right]_{u=t}=0}$

άρα υπάρχει $\displaystyle{c\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a(t)\,\cos\,\phi(t)+b(t)\,\sin\,\phi(t)=c\,,0\leq t\leq 1}$ , οπότε :

για $\displaystyle{t=0}$ : $\displaystyle{c=a(0)\,\cos\,\phi(0)+b(0)\,\sin\,\phi(0)=\cos^2\,\phi_{0}+\sin^2\,\phi_{0}=1}$

και συνεπώς $\displaystyle{a(t)\,\cos\,\phi(t)+b(t)\,\sin\,\phi(t)=1\,,0\leq t\leq 1$ . Τέλος,

$\displaystyle{\begin{aligned} 0\leq t\leq 1&\implies \left(a(t)-cos\,\phi(t)\right)^2+\left(b(t)-\sin\,\phi(t)\right)^2=\\&=a^2(t)-2\,a(t)\,\cos\,\phi(t)+\cos^2\,\phi(t)+b^2(t)-2\,b(t)\,\sin\,\phi(t)+\sin^2\,\phi(t)\\&=\left[a^2(t)+b^2(t)\right]+\left[\cos^2\,\phi(t)+\sin^2\,phi(t)\right]-2\,\left(a(t)\,\cos\,\phi(t)+b(t)\,\sin\,\phi(t)\right)\\&=1+1-2\\&=0\end{aligned}}$

απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Εξαιρετικό συμπέρασμα με πάρα πολλές εφαρμογές στη Διαφορική Γεωμετρία. Για παράδειγμα, στον ορισμό της καμπυλότητας επίπεδης κανονικής καμπύλης

με παράμετρο το μήκος τόξου. Το εκπληκτικό βέβαια, είναι ότι όλα αυτά προέκυψαν από την απλή παρατήρηση :

$\displaystyle{\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}: x^2+y^2=1\iff \exists\,\theta\in\mathbb{R}: x=\cos\,\theta\,\land\, y=\sin\,\theta}$

Βέβαια, κάθε άλλη γωνία της μορφής $\phi=\theta+2\,k\,\pi\,,k\in\mathbb{Z}}$ είναι τέτοια, ώστε $\displaystyle{x=\cos\,\phi\,,y=\sin\,\phi}$ .

Αν "τρέχουμε" τον κύκλο κατά τη θετική φορά, τότε ο φυσικός $\displaystyle{k}$ δηλώνει το πλήθος φορών διαγραφής του κύκλου αρχίζοντας από το

σημείο $\displaystyle{\left(x,y\right)}$ αυτού μέχρι να το ξανασυναντήσουμε. Αν "τρέχουμε" κατά την αρνητική φορά, τότε ο $\displaystyle{-k}$

κάνει την ίδια δουλειά.

Λογικά, τα παραπάνω σας είναι γνωστά, αλλά, καλού καλού τα ανέφερα. Αν έχω κάποιο λάθος, πείτε μου να το διορθώσω.

Αν έχετε και εσείς παρατηρήσεις ή άλλες εφαρμογές, αναφέρετέ τες. Ευχαριστώ.

Επαναφορά και των προαναφερθέντων ασκήσεων.

irakleios · #131

'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [0,2]

η συνάρτηση

με

αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και f(x) = 0

αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .

Tolaso J Kos · #132

irakleios έγραψε:'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο η συνάρτηση με αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .

Δε βλέπω το λόγο να μην είναι αφού έχει ένα μόνο σημείο ασυνέχειας . Το ολοκλήρωμα εύκολα βλέπουμε ότι είναι

.

Εκτός αν εννοείς κάτι άλλο που δε πιάνω.

Διόρθωσα ένα τυπογραφικό.

irakleios · #133

Tolaso J Kos έγραψε:
irakleios έγραψε:'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο η συνάρτηση με αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .
Δε βλέπω το λόγο να μην είναι αφού είναι φραγμένη. Το ολοκλήρωμα εύκολα βλέπουμε ότι είναι .

Εκτός αν εννοείς κάτι άλλο που δε πιάνω.

Δηλαδή κάθε φραγμένη είναι και Riemann ολοκληρώσιμη ;

irakleios · #134

Tolaso J Kos έγραψε:
irakleios έγραψε:'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο η συνάρτηση με αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .
Δε βλέπω το λόγο να μην είναι αφού έχει ένα μόνο σημείο ασυνέχειας . Το ολοκλήρωμα εύκολα βλέπουμε ότι είναι .

Εκτός αν εννοείς κάτι άλλο που δε πιάνω.

Διόρθωσα ένα τυπογραφικό.

Μα γιατί έχει ένα μόνο σημείο ασυνέχειας ; 'Ισως σε μπέρδεψε το '' για κάποιον '' .

Μάλιστα , αν πάρουμε 0<m<2

, τότε η

έχει πεπερασμένα το πλήθος σημείων ασυνέχειας στο [m,2]

, και μάλιστα είναι ακριβώς όσοι οι φυσικοί

για τους οποίους ισχύει $\frac{1}{k}\geq m$ . (που και αυτό θέλει απόδειξη )

#135

irakleios έγραψε:'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο η συνάρτηση με αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .

H συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε πραγματικό που δεν είναι της μορφής $\frac {1}{k}$ . Πράγματι, αφού τα $\frac {1}{1}, \, \frac {1}{2},\, \frac {1}{3}, ...$ είναι διακριτά, και κάθε αριθμός του πεδίου ορισμού στο μεσοδιάστημά τους είναι μεταξύ (ακριβώς) δύο διαδοχικών τέτοιων, σημαίνει ότι βρίσκεται σε γνήσια θετική απόσταση από αυτούς. Άρα υπάρχει διάστημα γύρω από τον εν λόγω άριθμό όπου η συνάρτηση είναι

και άρα συνεχής. Επειδή τα σημεία ασυνέχειας, δηλαδή τα $\frac {1}{k}$ , είναι αριθμήσιμα το πλήθος, η συνάρτηση είναι Riemann ολοκληρώσιμη με ολοκλήρωμα όσο η σταθερή

(δηλαδή,

).

Μ.

nickthegreek · #136

Mιας και είμαστε στο θέμα, ας προτείνω (άτυπα;) το ακόλουθο γνωστό θεώρημα σαν άσκηση:

ΑΣΚΗΣΗ 41+ 1/2

Lebesgue criterion for Riemann integrability

Έστω $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ . Nα αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι Riemann oλοκληρώσιμη αν και μόνον αν είναι φραγμένη και το σύνολο ασυνεχειών της έχει μέτρο 0.

Tolaso J Kos · #137

Άσκηση 42

Έστω $f:[2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ μια ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_2^\infty \frac{f(x)}{x^2 \log^2 x}\, {\rm d}x}$ συγκλίνει.

BAGGP93 · #138

Άσκηση 43

Θεωρούμε τον μοναδιαίο κύκλο $\displaystyle{S^{1}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\right\}\subseteq \mathbb{R}^2}$ και αφαιρούμε

από αυτόν ένα σημείο του $\displaystyle{\left(\cos\,\phi,\sin\,\phi\right)\,,\phi\in\left(0,2\,\pi\right)}$ .

Να αποδείξετε οτι για κάποιο $\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}$ τα σύνολα $\displaystyle{S^{1}-\left\{\left(\cos\,\phi,\sin\,\phi\right)\right\}\subseteq \mathbb{R}^2}$ και

$\displaystyle{\left(\phi+2\,k\,\pi,\phi+2\,(k+1)\,\pi\right)\subseteq \mathbb{R}}$ είναι ομοιομορφικά.

#139

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 42

Έστω $f:[2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ μια ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_2^\infty \frac{f(x)}{x^2 \log^2 x}\, {\rm d}x}$ συγκλίνει.

Επειδή η

είναι ομοιόμορφα συνεχής, υπάρχουν a,b>0

τέτοια ώστε $\left| f(x)\right | \le ax+b, x \ge 2$ . Αυτό είναι γνωστό και απλό. Υπόδειξη: Εφαρμόζουμε τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας για $\epsilon = 1.$ Τότε για το αντίστοιχο $\delta >0$ έχουμε

$\left| f(2+\frac {n\delta}{2})\right | \le \left| f(2+\frac {n\delta }{2})- f(2+\frac {(n-1)\delta }{2})\right |+ \left| f(2+\frac {(n-1)\delta}{2})- f(2+\frac {(n-2)\delta}{2})\right | +...+ \left| f(2+\frac {\delta}{2})- f(2)\right |+\left| f(2)\right |$

$\le n +|f(2)| = \frac {2}{\delta }(2 + \frac {n\delta}{2}) +c$ και λοιπά, οι λεπτομέρειες απλές.

Από αυτό έχουμε $\left | \frac{f(x)}{x^2 \log^2 x}\right | \le \frac{ax+b}{x^2 \log^2 x} = \frac{a}{x \log^2 x} + \frac{b}{x^2 \log^2 x}$

Το ολοκλήρωμα του πρώτου προσθετέου, συγκλίνει (μπορούμε άλλωστε να βρούμε το ολοκλήρωμα: Ισούται $- \frac{a}{\log x}$ ). Το δεύτερο συγκλίνει ως μικρότερο του πρώτου, δεδομένου ότι $x^2\ge x$ στο εν λόγω διάστημα.

Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#140

Άσκηση 44
Για κάθε $n\in \Bbb{N}^*$ , ορίζουμε $f_n: [1, \infty)\to \Bbb{R}, \ f_n(x)=x-n+x\ln x.$
Να δείξετε ότι η εξίσωση f_n(x)=0

έχει μοναδική λύση, έστω x_n,

και να υπολογίσετε τα όρια $\lim x_n$ και $\displaystyle{\lim \frac{x_n \ln n}{n}.}$

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση