Καμπή ...και... εξίσωση!

maiksoul · #1

Καλησπέρα σε όλους , προτείνω την παρακάτω προσωπική μου δημιουργία...ελπίζω να αρέσει !

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{ \,\,f:\Re \to \Re \,\,\,\, }$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύουν:

* $\displaystyle{... ...e^{f{'} (x)} + f{'} (x) = ax^3 + x^2 + bx,\,\,\,\,\forall x \in \Re ,a,b \in \Re ....(1) }$

* $\displaystyle{....... \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(2x - 1) - \sin (x - 1)}}{{x - 1}} = - 1\,\,\,\,(2) }$

*......έχει σημείο καμπής στο x=1....(3)

I) Να βρεθούν τα a,b

II) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης :

$\displaystyle{ \,\,f{'}(e^{f (e^{f{'}(x^3-2x)} )} ) = 0\,\,\,\, }$

#2

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους , προτείνω την παρακάτω προσωπική μου δημιουργία...ελπίζω να αρέσει !

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{ \,\,f:\Re \to \Re \,\,\,\, }$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύουν:

* $\displaystyle{... ...e^{f{'} (x)} + f{'} (x) = ax^3 + x^2 + bx,\,\,\,\,\forall x \in \Re ,a,b \in \Re ....(1) }$

* $\displaystyle{....... \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(2x - 1) - \sin (x - 1)}}{{x - 1}} = - 1\,\,\,\,(2) }$

*......έχει σημείο καμπής στο

I) Να βρεθούν τα

...γιά το (i)....

i) Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε ότι ${{e}^{{f}'(x)}}{f}''(x)+{f}''(x)=3a{{x}^{2}}+2x+b$ (1)

και επειδή η

παρουσιάζει καμπή στο x=1

θα είναι

και από (1) με όπου

το

προκύπτει ότι

${{e}^{{f}'(1)}}{f}''(1)+{f}''(1)=3a+2+b\Leftrightarrow 0=3a+2+b\Leftrightarrow 3a+b=-2$ (2)

Αν $g(x)=\frac{f(2x-1)-\sin (x-1)}{x-1},\,\,\,x\ne 1$ θα ισχύει $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)=-1$ και

$f(2x-1)=(x-1)g(x)+\sin (x-1)$ οπότε $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(2x-1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,((x-1)g(x)+\sin (x-1))=0+0=0$

και επειδή η

συνεχής ως παραγωγίσιμη θα είναι f(1)=0

.

Τώρα $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(2x-1)-\sin (x-1)}{x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{f}'(2x-1)-\cos (x-1)}{1}=2{f}'(1)-1$

άρα θα είναι $2{f}'(1)-1=-1\Leftrightarrow {f}'(1)=0$ επομένως στην αρχική με όπου

το

έχουμε ότι

${{e}^{{f}'(1)}}+{f}'(1)=a+1+b\Leftrightarrow 1=a+1+b\Leftrightarrow a+b=0$ (2) . Από (1),(2) προκύπτει ότι $a=-1,\,\,b=1$ .

...συνεχίζεται???...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

maiksoul · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους , προτείνω την παρακάτω προσωπική μου δημιουργία...ελπίζω να αρέσει !

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{ \,\,f:\Re \to \Re \,\,\,\, }$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύουν:

* $\displaystyle{... ...e^{f{'} (x)} + f{'} (x) = ax^3 + x^2 + bx,\,\,\,\,\forall x \in \Re ,a,b \in \Re ....(1) }$

* $\displaystyle{....... \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(2x - 1) - \sin (x - 1)}}{{x - 1}} = - 1\,\,\,\,(2) }$

*......έχει σημείο καμπής στο

I) Να βρεθούν τα

...γιά το (i)....

i)
${{e}^{{f}'(1)}}+{f}'(1)=a+1+b\Leftrightarrow 1=a+1+b\Leftrightarrow a+b=0$ (2) . Από (1),(2) προκύπτει ότι $a=-1,\,\,b=1$ .

...συνεχίζεται???...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλημέρα, η άσκηση συνεχίζεται...!

asemarak · #4

ii) Πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες της {f}'

:

Αν $x_{o}$ είναι ρίζα της {f}'

, τότε η (1) για $x=x_{o}$ δίνει: $1=-x_{o}^{3}+x_{o}^{2}+x_{o}\Leftrightarrow x_{o}=\pm 1$ .

H x= 1

είναι ρίζα της {f}'

(από το (α)) και η x= -1

είναι επίσης ρίζα, αφού η (1) για x= -1

δίνει:

$e^{{f}'(-1)}+{f}'(-1)-1=0\Leftrightarrow {f}'(-1)=0$

(γιατί η συνάρτηση $g(x)=e^{x}+x-1$ έχει μοναδική ρίζα την x=0

, λόγω μονοτονίας).

Επίσης ${f}''(x)=\frac{-(x-1)(3x+1)}{e^{{f}'(x)}+1}$ .

Άρα {f}''(x)>0

στο $(-\frac{1}{3},1)$ και {f}''(x)<0

στο $(-\infty ,-\frac{1}{3})\cup (1,+\infty)$ .

Η {f}'

είναι γνησίως αύξουσα στο $[-\frac{1}{3},1]$ και γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα $(-\infty ,-\frac{1}{3}]$ , $[1,+\infty)$ .

Άρα στο διάστημα $[-\frac{1}{3},+\infty )$ η {f}'

παρουσιάζει μέγιστη τιμή {f}'(1)=0

, οπότε ${f}'(x)\leq 0$ στο $[-\frac{1}{3},+\infty )$

και το

ισχύει μόνο για x = 1

.

Δηλαδή η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[-\frac{1}{3},+\infty )$ και έτσι η

έχει μοναδική θετική ρίζα την x=1

.

${f}'(e^{f(e^{{f}'(x^{3}-2x)})})=0\Leftrightarrow e^{f(e^{{f}'(x^{3}-2x)})}=1$ ή $e^{f(e^{{f}'(x^{3}-2x)})}=-1$ (αδύνατη) $\Leftrightarrow$

$f(e^{{f}'(x^{3}-2x)})=0\Leftrightarrow e^{{f}'(x^{3}-2x)}=1$ (αφού x=1

μοναδική θετική ρίζα της

) $\Leftrightarrow {f}'(x^{3}-2x)=0\Leftrightarrow$

$x^{3}-2x=1$ ή $x^{3}-2x=-1$ $\Leftrightarrow x=1$ ή x=-1

ή $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ ή $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ .

Μιχάλη μου άρεσε πολύ η έμπνευσή σου. Πρωτότυπη!
Άραγε πόσοι από τους μαθητές θα μπορούσαν να την λύσουν;

Καμπή ...και... εξίσωση!

Καμπή ...και... εξίσωση!

Re: Καμπή ...και... εξίσωση!

Re: Καμπή ...και... εξίσωση!

Re: Καμπή ...και... εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση