Παράγουσα

leuteris · #1

Καλησπέρα ,

είναι εφικτό να βρούμε μια παράγουσα της $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3+sinx}}$ στο $\mathbb{R}$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ευχαριστώ.

Christos.N · #2

Εξέτασε τι συμβαίνει σε αυτά τα σημεία, είναι η συνάρτηση (παράγουσα) συνεχής , είναι παραγωγίσιμη;

leuteris · #3

Παρατήρησα ότι έκανα ενα λάθος στους περιορισμούς και τελικά το μόνο που βγάζω είναι:

Θέτουμε $\displaystyle{g(u)=\tan u \,\, ,u\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ και $\displaystyle{\tan\frac{x}{2}=t \,\, , x\in(2g^{-1}(\frac{-\pi\sqrt{2}-1}{3}),2g^{-1}(\frac{\pi\sqrt2-1}{3}))}$ και επομένως $t\in(\frac{-\pi\sqrt{2}-1}{3},\frac{\pi\sqrt{2}-1}{3})$

Οπότε $\displaystyle{I=\int \frac{1}{3+sinx}dx=\int \frac{1}{3+\frac{2t}{1+t^2 }}\frac{2}{1+t^{2}}dt=\int \frac{2}{3t^{2}+2t+3}dt=\frac{3}{4}\int\frac{1}{(\frac{3t+1}{2\sqrt{2}})^{2}+1}dt}$

Θέτουμε $\displaystyle{\frac{3t+1}{2\sqrt{2}}=g(u) \Leftrightarrow t=\frac{2\sqrt{2}\tan u -1}{3} \Rightarrow dt=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{1}{cos^{2}(u)}du}$

Άρα $\displaystyle{I=\frac{3}{4}\frac{2\sqrt{2}}{3}\int \frac{1}{[tan^{2}(u)+1]}\frac{1}{cos^{2}(u)}du=\frac{\sqrt{2}}{2}\int du =\frac{\sqrt{2}}{2}g^{-1}(\frac{3t+1}{2\sqrt{2}})+c\Rightarrow }$

$\displaystyle{I=\frac{\sqrt{2}}{2}g^{-1}(\frac{3\tan (\frac{x}{2})+1}{2\sqrt{2}}) + c\,\, , x\in (2g^{-1}(\frac{-\pi\sqrt{2}-1}{3}),2g^{-1}(\frac{\pi\sqrt2-1}{3}))}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έτσι ορίζοντας κάθε φορά την $\tan u$ σε διαφορετικό διάστημα μπορώ να βρώ παράγουσα και σε άλλα διαστήματα, αλλά όχι στο $\mathbb{R}$

#4

Μπορεί να βρεθεί παράγουσα και σε όλο το $\mathbb{R}$ ενώνοντας (με τον σωστό τρόπο!) τις παράγουσες που βρήκες στα διάφορα διαστήματα.

Παράγουσα

Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Μέλη σε σύνδεση