Συναρτησιακή

Thanasis Tasoulas · #1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:(1, $\propto )\rightarrow$ R τέτοιες ώστε για κάθε x,y>1:f(xy)=xf(y)+yf(x)

.

Σημ.: Έχω λύση αν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγισιμη και δυστυχώς δεν κατάφερα από την συνέχεια να αποδείξω την παραγωγισιμότητα οπότε λύση έτσι πως την ζητάει η εκφώνηση δεν έχω.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{f(e^x)}{e^x}, χ>0,}$ είναι καλά ορισμένη και ισχύει $\displaystyle{h(x+y)=h(x)+h(y),}$ για κάθε x,y>0.

Επειδή η

είναι συνεχής και προσθετική, θα είναι h(x)=cx,

για κάθε

οπότε $f(x)=cx\ln x,$ για κάθε x>1.

Thanasis Tasoulas · #3

Καταπληκτική λύση και θα την χαρακτήριζα και διδακτική.

kos13 · #4

socrates έγραψε:Η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{f(e^x)}{e^x}, χ>0,}$ είναι καλά ορισμένη και ισχύει $\displaystyle{h(x+y)=h(x)+h(y),}$ για κάθε
Επειδή η είναι συνεχής και προσθετική, θα είναι για κάθε οπότε $f(x)=cx\ln x,$ για κάθε

καλησπέρα και συγνώμη για την ενόχληση ...αυτό το λήμμα που χρησιμοποιείς με την προσθετική συνάρτηση μήπως ξέρεις πως αποδεικνύεται ???

#5

kos13 έγραψε:
socrates έγραψε:Η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{f(e^x)}{e^x}, χ>0,}$ είναι καλά ορισμένη και ισχύει $\displaystyle{h(x+y)=h(x)+h(y),}$ για κάθε
Επειδή η είναι συνεχής και προσθετική, θα είναι για κάθε οπότε $f(x)=cx\ln x,$ για κάθε

καλησπέρα και συγνώμη για την ενόχληση ...αυτό το λήμμα που χρησιμοποιείς με την προσθετική συνάρτηση μήπως ξέρεις πως αποδεικνύεται ???

Είναι εύκολο να δούμε ότι από την h(x+y)=h(x)+h(y)

έπεται ότι h(x)=h(1)x

για κάθε ρητό x>0.

Επίσης, αφού h(x+y)>h(x),

η

είναι γν. αύξουσα.

Για κάθε x>0

μπορούμε να βρούμε ακολουθίες ρητών a_n,b_n

που συγκλίνουν στο

και τέτοιες ώστε a_n<x<b_n

για κάθε

Λόγω της μονοτονίας, θα είναι h(a_n)<h(x)<h(b_n)

οπότε

Αν αφήσουμε το $n\to \infty$ θα πάρουμε $h(1)x\leq h(x)\leq h(1)x$ δηλαδή h(x)=h(1)x,

για κάθε

kos13 · #6

ευχαριστώ πόλυ για την βοήθεια !!!

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση