Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

pito · #121

Τα θέματα ήταν καλά και δύσκολοτερα από πέρυσι, κυρίως στο τέταρτο θέμα.Έμένα μου άρεσαν πολύ, αλλά δεν είμαι μαθήτρια. Σε πολλούς μαθητές δεν έφτασε ο χρόνος. Ο παράγοντας "άγχος" πάντα παίζει πολύ μεγάλο ρόλο. Τα παιδιά δεν είναι μαθηματικοί, χαλαροί να σκεφτούν και πολλές εναλλακτικές λύσεις. Τα περισσότερα θέματα ήταν κλασικά και άμα ρωτήσετε παιδιά που δεν πρόλαβαν τα ξέρουν , αυτό είναι πάντα που με στενοχωρεί.
Καλή συνέχεια σε όλους !

( Από σήμερα θα κοιμάμαι πιο ήρεμη τα βράδια , γιατί όπως και να έχει όλο αυτό το περνάμε όλοι μαζί, μαθητές και καθηγητές)

k-ser · #122

Να συγχαρώ τους συναδέλφους στην επιτροπή θεμάτων για την αναλυτική - και κοπιαστική φαντάζομαι - παρουσίαση των απαντήσεων.

Κάποια στιγμή, όχι τώρα, θα πρέπει να κάνουμε μια συζήτηση για το πόσο αναλυτικά πρέπει να γράφει ένας μαθητής τις απαντήσεις του,
δεδομένης της δυσκολίας -κάποιων- και της πληθώρας των ερωτημάτων.

Παράδειγμα: στο ερώτημα "πόσες ρίζες έχει η εξίσωση f(x)=2012

;"
θεωρώ άριστη απάντηση την εξής:
Αφού το 2012

ανήκει στο $f(\Delta_1)$ και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta_1$ η εξίσωση f(x)=2012

έχει ακριβώς μία ρίζα x_1

στο $\Delta_1$ .
Αφού το 2012

ανήκει στο $f(\Delta_2)$ και η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta_2$ η εξίσωση f(x)=2012

έχει ακριβώς μία ρίζα x_2

στο $\Delta_2$ .

Μπορεί κάποιοι να διαφωνείτε, αλλά ας είναι θέμα για συζήτηση για μετά τις εξετάσεις
για να μην προβληματίσουμε, αυτήν τουλάχιστον την περίοδο, τους μαθητές μας.

Καλό βράδυ.

#123

k-ser έγραψε: Παράδειγμα: στο ερώτημα "πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ;"
θεωρώ άριστη απάντηση την εξής:
Αφού το ανήκει στο $f(\Delta_1)$ και η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta_1$ η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\Delta_1$ .
Αφού το ανήκει στο $f(\Delta_2)$ και η είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta_2$ η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\Delta_2$ .

Μπορεί κάποιοι να διαφωνείτε, αλλά ας είναι θέμα για συζήτηση για μετά τις εξετάσεις
για να μην προβληματίσουμε, αυτήν τουλάχιστον την περίοδο, τους μαθητές μας.

Καλό βράδυ.

Κώστα εγώ δε διαφωνώ καθόλου μαζί σου. Το μόνο που θα πρόσθετα θα ήταν το "λόγω της συνέχειας της συνάρτησης".
Καλό βράδυ.

pito · #124

k-ser έγραψε:Να συγχαρώ τους συναδέλφους στην επιτροπή θεμάτων για την αναλυτική - και κοπιαστική φαντάζομαι - παρουσίαση των απαντήσεων.

Κάποια στιγμή, όχι τώρα, θα πρέπει να κάνουμε μια συζήτηση για το πόσο αναλυτικά πρέπει να γράφει ένας μαθητής τις απαντήσεις του,
δεδομένης της δυσκολίας -κάποιων- και της πληθώρας των ερωτημάτων.

Παράδειγμα: στο ερώτημα "πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ;"
θεωρώ άριστη απάντηση την εξής:
Αφού το ανήκει στο $f(\Delta_1)$ και η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta_1$ η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\Delta_1$ .
Αφού το ανήκει στο $f(\Delta_2)$ και η είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta_2$ η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\Delta_2$ .

Μπορεί κάποιοι να διαφωνείτε, αλλά ας είναι θέμα για συζήτηση για μετά τις εξετάσεις
για να μην προβληματίσουμε, αυτήν τουλάχιστον την περίοδο, τους μαθητές μας.

Καλό βράδυ.

Κ εγώ είμαι απόλυτα σύμφωνη και έτσι το διδάσκω. Τονίζοντας και την συνέχεια της συνάρτησης.

k-ser · #125

Χρήστο, pito, για το συγκεκριμένο ερώτημα δεν μου είναι απαραίτητη η συνέχεια!

dimkat · #126

Ως προς τη λύση του Γ2 απο το

, θεωρώ ότι η αναφορά στη συνέχεια και στο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών για την ύπαρξη ρίζας είναι πλεονασμός.
Αφού το 2012

ανήκει στο σύνολο τιμών τότε (ασχέτως συνέχειας και Θ.Ε.Τ.) υπάρχει $x_{1}\in \left(0,1 \right)$ ώστε $f\left(x_{1} \right)=2012$ .

#127

Έχεις δίκιο Κώστα. Ανακαλώ.

#128

grigkost έγραψε:1) Η εκφώνηση στο Δ θέμα είναι σαφέστατη. Για την συνάρτηση και για κάθε ισχύουν οι παρακάτω τρεις σχέσεις:....
Άρα και η $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ , δίνεται ότι ισχύει για κάθε .

2)
bmathematic έγραψε:H f ορίζεται για $x\succ 0$ αλλά το π.ορ. του ολοληρώματος της ανισότητας είναι το R διότι $1\epsilon \left(0,+\propto \right)$ και το τριώνυμο του άλλου άκρου θα πρέπει να ανήκει στο ίδιο διάστημα. Αυτό όμως συμβαίνει για κάθε πραγματικό αριθμό. Άρα το 0 είναι εσωτερικό σημείο της συνάρτησης που ορίζουμε για να εφαρμόσουμε Fermat.
Στην δεδομένη σχέση $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ , μπορεί, όπως εύκολα απέδειξες ότι συμβαίνει, το πρώτο μέλος (ολοκλήρωμα) να ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$ αλλά υπάρχει και δεύτερο μέλος στην σχέση.

Επομένως για να χρησιμοποιηθεί το ότι η σχέση $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ ισχύει σε όλο $\mathbb{R}$ , πρέπει πρώτα να αποδειχθεί ότι ισχύει σε όλο το $\mathbb{R}$ .

φιλικά

Έχουμε την παρακάτω εκφώνηση:
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+

$\infty$ )⟶

, η οποία για κάθε x>0

ικανοποιεί τις σχέσεις:
• f(x) ≠ 0

• $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}$
• $\ell nx-x=-\left( \int_{1}^{x}{\frac{\ell nt-t}{f(t)}dt+e} \right)\cdot \left| f(t) \right|$

Εδώ μας λέει ότι η f(x)

για

ικανοποίει τις τρεις σχέσεις και όχι ότι για x>0

ικανοποιούνται οι τρεις σχέσεις
Αν αυτο εννοούσε , θα το έγραφε απλά, δηλαδή
Για κάθε x> 0

ισχύουν οι σχέσεις .
Αλλά αντιθέτως μας λέει ότι η f(x)

για τα

που ορίζεται ικανοποιεί τις τρεις σχέσεις .
Επίσης αν εννοούσε ότι ισχύουν μόνο για x>0

τότε πως μπορεί να αληθεύει για x=0.

dennys · #129

Καλησπέρα και πάλι

Νομίζω ότι το x>0

,αναφέρεται και στις τρείς σχέσεις ,γι" αυτό και πιο πάνω είπα αν κάποιος μαθητής θεωρούσε την δεύτερη σχέση μόνη της και απεδείκνυε

ότι ισχύει στο $\mathbb{R}$ , τότε θα μπορούσε να κάνει φερμα στο 0 , πράγμα επικίνδυνο αν x>0

.

Εδώ λίγο διυλίζουμε τον κώνωπα , αυτοί κατ'εμέ εννοούσαν x>0

για όλα και ήθελαν φερμα στο 1.

Αργότερα ας μας πούν τι εννοούσαν .Εδω είναι που τα παίρνω . Οταν βάζεις θέματα δεν πρέπει να επιδέχονται παρερμηνείας ,εδω εμείς κάναμε 7 σελιδες forum

φαντάσου τα παιδιά.

καλο βράδυ dennys

#130

pito έγραψε:Τα θέματα ήταν καλά και δύσκολοτερα από πέρυσι, κυρίως στο τέταρτο θέμα.Έμένα μου άρεσαν πολύ, αλλά δεν είμαι μαθήτρια. Σε πολλούς μαθητές δεν έφτασε ο χρόνος. Ο παράγοντας "άγχος" πάντα παίζει πολύ μεγάλο ρόλο. Τα παιδιά δεν είναι μαθηματικοί, χαλαροί να σκεφτούν και πολλές εναλλακτικές λύσεις. Τα περισσότερα θέματα ήταν κλασικά και άμα ρωτήσετε παιδιά που δεν πρόλαβαν τα ξέρουν , αυτό είναι πάντα που με στενοχωρεί.
Καλή συνέχεια σε όλους !

( Από σήμερα θα κοιμάμαι πιο ήρεμη τα βράδια , γιατί όπως και να έχει όλο αυτό το περνάμε όλοι μαζί, μαθητές και καθηγητές)

Θα συμφωνήσω και εγώ με την Μυρτώ και τον φίλο 1=object? , ότι τα θέματα ήταν καλά για εμάς τους μαθηματικούς αλλά ας δούμε και την πλευρά των μαθητών που τουλάχιστον για ένα έτος έχουν τρελλαθεί στο διάβασμα όχι μόνο των μαθηματικών αλλά της Φυσικής , της Χημείας και της Βιολογίας. Αντέχεται εύκολα τέτοια ένταση; Όσοι έχουμε παιδιά που πέρασαν αυτό το στάδιο, γνωρίζουμε το τί σημαίνει να είσαι υποψήφιος. Και κανείς δεν ισχυρίζεται ότι πρέπει να μπαίνουν εύκολα θέματα. Όμως να μπαίνουν τέτοια, ώστε να είναι δυνατόν μέσα σε τρεις ώρες να μπορεί να τα λύσει ο τόσο κουρασμένος υποψήφιος, να του δοθεί ο χρόνος να κάνει τον έλεγχο για τυχόν λάθη απροσεξίας και ο χρόνος να διαγράψει μια λανθασμένη οδό που ακολούθησε σε κάποιο θέμα και να δοκιμάσει κάποια άλλη που θα τον οδηγήσει στην λύση.
Δυστυχώς με τα θέματα που μπαίνουν τα τελευταία χρόνια (με τις πολυάριθμες υποερωτήσεις το καθένα) είναι συχνά θέμα τύχης αν θα προλάβει ακόμα και ο άριστος μαθητής να λύσει όλα τα θέματα. Και είναι πράγματι λυπηρό να βλέπουμε μαθητές που έχουν σαρώσει βραβεία σε μαθηματικούς διαγωνισμούς (όπου εκεί φαίνονται οι πραγματικά ταλαντούχοι), να μην μπορούν να γράφουν άριστα στις Πανελλαδικές, επειδή απλώς για να παραδώσουν ένα άψογο γραπτό ψάχνουν και διερευνούν την κάθε ερώτηση και έτσι δεν προλαβαίνουν να ολοκληρώσουν.

#131

1) Για το τι δίνεται στην εκφώνηση του θέματος αρκεί να γράψει κανείς την άσκηση αυστηρά με την βοήθεια ποσοδεικτών. Δηλαδή $({\exists\,f})\,({\forall\,{x>0})\,[{\,({ {\bf{p}}(f,x) \ \wedge \ {\bf{q}}(f,x) \ \wedge \ {\bf{r}}(f,x)\,}) \ \rightarrow \ \ldots\,}]$ .

2)

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:...Επίσης αν εννοούσε ότι ισχύουν μόνο για τότε πως μπορεί να αληθεύει για

Ακόμα μια φορά: Δεν υπάρχει κανένας λόγος να αναρωτιόμαστε "τι εννοούσε". Γνωρίζουμε τι δίνεται. Και αυτό που δίνεται είναι ότι οι τρεις σχέσεις ισχύουν για x>0

.
Αν αυτές οι σχέσεις ισχύουν (αληθεύουν) και για x=0

ή για

, αυτό δεν δίνεται και απαιτείται απόδειξη.

#132

s.kap έγραψε:Παρακάτω θα γράψω την προσέγγιση ενός μαθητή (όχι δικού μου) στο θέμα Δ4. Δεν είναι η συντομότερη, αλλά είναι σωστή και ενδιαφέρουσα.

Είναι $\displaystyle{F'(x)=f(x)<0,\ \forall x>0}$ , άρα η $\displaystyle{F}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

Συνεπώς

$\displaystyle{0<\beta<3\beta \Rightarrow F(\beta)>F(3\beta) \Rightarrow F(3\beta)<\frac {F(\beta)+F(3\beta)}{2}<F(\beta)}$ .

Οπότε από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\beta,3\beta)}$ ώστε $\displaystyle{F(\xi)=\frac {F(\beta)+F(3\beta)}{2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow 2F(\xi)=F(\beta)+F(3\beta)}$

Εξ' άλλου η $\displaystyle{F}$ ικανοποιεί τις προυποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\displaystyle{[\beta,\xi]}$ και

$\displaystyle{[\xi,3\beta]}$ , συνεπώς υπάρχουν $\displaystyle{\xi_1 \in (\beta,\xi)}$ και $\displaystyle{\xi_2 \in (\xi,3\beta)}$ ώστε

$\displaystyle{F'(\xi_1)=\frac {F(\xi)-F(\beta)}{\xi-\beta}=\frac {2F(\xi)-2F(\beta)}{2(\xi-\beta)}=\frac {F(\beta)+F(3\beta)-2F(\beta)}{2(\xi-\beta)}=\frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(\xi-\beta)}}$

και

$\displaystyle{F'(\xi_2)=\frac {F(3\beta)-F(\xi)}{3\beta-\xi}=\frac {2F(3\beta)-2F(\xi)}{2(3\beta-\xi)}=\frac {2F(3\beta)-F(\beta)-F(3\beta)}{2(3\beta-\xi)}=\frac {F(3\beta)-F(\xi)}{2(3\beta-\xi)}}$

Αλλά

$\displaystyle{\xi_1<\xi_2 \Rightarrow F'(\xi_1)<F'(\xi_2) \Rightarrow \frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(\xi-\beta)} <\frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(3\beta-\xi)}}$

και επειδή $\displaystyle{F(3\beta)-F(\beta)<0}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac {1}{2(\xi-\beta)} >\frac {1}{2(3\beta-\xi)} \Rightarrow 2\xi-2\beta < 6\beta-2\xi \Rightarrow \xi <2\beta}$

Συνεπώς το $\displaystyle{\xi}$ που ικανοποιεί το ζητούμενο ανήκει στο διάστημα $\displaystyle{(\beta,2\beta)}$ και η μοναδικότητα προκύπτει από το ότι η $\displaystyle{F}$

είναι γνησίως φθίνουσα.

...και μία άλλη προσέγγιση που έκανα γιά το Δ4 με θεώρημα ενδιάμεσων τιμών λίγο πιό σύντομη...

Επειδή είναι ${F}'(x)=f(x)<0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\,+\infty )$ η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,\,+\infty )$

και για $0<\beta <2\beta$ ισχύει $F(\beta )>F(2\beta )$ και $F(\beta )>\frac{F(\beta )+F(3\beta )}{2}>F(2\beta )$ γιατί

$2F(\beta )>F(\beta )+F(3\beta )\Leftrightarrow F(\beta )>F(3\beta )$ αφού $\beta <3\beta$

και σύμφωνα με το Δ3 ισχύει ότι $F(\beta )+F(3\beta )>2F(2\beta )$ επομένως σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

υπάρχει $\xi \in (\beta ,\,\,\,2\beta )$ ώστε $F(\xi )=\frac{F(\beta )+F(3\beta )}{2}\Leftrightarrow 2F(\xi )=F(\beta )+F(3\beta )$

που είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας της

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Νασιούλας Αντώνης · #133

Για το αν ήταν πολλά ή όχι, αρκεί να αναφέρω ότι έγραψα 14-15 σελίδες και με γράμματα που κάθε άλλο παρά μεγάλα είναι.
Μόνο το Δ1, αν δεν με απατά η μνήμη μου, μου πήρα 3,5 σελίδες.
Παρόλο που είμαι υπέρμαχος των -πολύ- δύσκολων θεμάτων, δεν είμαι υπέρ των πολλών θεμάτων. Πολλοί ικανότατοι συμμαθητές μου (ορισμένοι εξ αυτών και με διακρίσεις σε διαγωνισμούς κτλ), όπως αντίστοιχα παραδείγματα ανέφεραν κι οι άλλοι, ενώ ήξεραν τις λύσεις των θεμάτων δεν πρόλαβαν να τις γράψουν.

Για την ιστορία να αναφέρω ότι (απ' όσο γνωρίζω) στη Φιλανδία, που θεωρείται ότι έχει το καλύτερο εκπαιδευτικό σύστημα, δεν υπάρχει χρονικό περιθώριο στις εξετάσεις. Οι εξετάσεις αρχίζουν το πρωί και ο καθένας φεύγει ότι ώρα τελειώσει -το μεσημέρι, το απόγευμα...

Η ταχύτητα, αν και πολύ χρήσιμη για όσους την έχουν, δεν αποτελεί αναγκαία συνθήκη για να επιτύχει κανείς. Αρκετοί μεγάλοι επιστήμονες δεν υπήρξαν ιδιαίτερα γρήγοροι -επειδή έχουμε ειδικούς επί τους θέματος, δεν θα διακινδυνέψω να δώσω παραδείγματα, ας μας φωτίσουν εκείνοι

#134

Αντώνη, για μια ακόμα φορά αποδεικνύεις ότι δεν είσαι μόνο ταλαντούχος μαθητής αλλά και ένα παιδί με ήθος και εξαιρετικό χαρακτήρα. Είπες τα πράγματα όπως ακριβώς είναι.

ΕΝΑ ΜΕΓΑΛΟ ΜΠΡΑΒΟ και από εμένα.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ (που είναι βέβαιη) ΚΑΙ ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΠΑΝΤΑ ΚΑΛΑ.

#135

Αλλος ενας τροπος για το Δ1
Είναι
$\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$
Για x>1

έχουμε $\frac{\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}}{x-1}\ge {{\frac{-x}{e}}^{{}}}(1)$ είναι $\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}}{x-1}\underset{D'LH}{\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop{=}}}\,\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{f({{x}^{2}}-x+1)\left( 2x-1 \right)}{1}\underset{\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma ...}{\overset{{{H}^{{}}}f({{x}^{2}}-x+1)}{\mathop{=}}}\,f(1).$
Ακόμη $\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{-x}{e}=\frac{-1}{e}$ αρα από (1) είναι $f(1)\ge {{\frac{-1}{e}}^{{}}}\left( 3 \right)$ .

Για x<1

έχουμε $\frac{\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}}{x-1}\le {{\frac{-x}{e}}^{{}}}(2)$ είναι $\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}}{x-1}\underset{D'LH}{\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop{=}}}\,\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{f({{x}^{2}}-x+1)\left( 2x-1 \right)}{1}\underset{\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma ...}{\overset{{{H}^{{}}}f({{x}^{2}}-x+1)}{\mathop{=}}}\,f(1).$
Ακόμη $\underset{_{x\to 1}}{\mathop{lim}}\,\frac{-x}{e}=\frac{-1}{e}$ άρα από (2) είναι $f(1)\le \frac{-1}{e}\left( 4 \right)$ .

Οπότε από (3) και (4) έχουμε $f(1)=\frac{-1}{e}$
Ομοια βγαινει και με ορια στο Χο=0

#136

...να προσθέσω επίσης για την απόδειξη της παραγωγισιμόυητας της f στο Δ1...

Για την συνάρτηση $h(x)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln t-t}{f(t)}dt}+e,\,\,\,\,x>0$ αν υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,\,\,\,+\infty )$ ώστε $h({{x}_{0}})=0$

τότε από την ισότητα $\ln x-x=\left( \int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln t-t}{f(t)}dt}+e \right)f(x)$ θα ισχύει $\ln {{x}_{0}}-{{x}_{0}}=0$ που είναι άτοπο

αφού ως γνωστόν $\ln x<x,\,\,\,\,x>0$ άρα αφού $h(x)\ne 0,\,\,\,\,\,x>0$ είναι $f(x)=\frac{\ln x-x}{h(x)},\,\,\,x>0$ που είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων......

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

batmsup1 · #137

Η δική μου πεποίθηση, όπως έθιξε και ο έμπειρος κύριος Λουρίδας, είναι οτι τα τελευταία χρόνια έχει διαμορφωθεί ένα στυλ θεμάτων, στο οποίο οι διαφορετικής σύστασης επιτροπές παραμένουν πιστές. Το γεγονός αυτό αναπόφευκτα στρέφει και την προσπάθεια καθηγητών, συγγραφέων και μαθητών προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση, γιατί απο αυτές τις εξετάσεις θα κριθούν οι μαθητές για την εισαγωγή στα πανεπιστήμια. Το συγκεκριμένο στυλ αφορά ασκήσεις τεχνοκρατικές (αλήθεια που πήγαν τα προβλήματα?), φροντιστηριακού τύπου, που δημιουργούν μια πόλωση σε μεθοδολογία, κατηγοριοποίηση ασκήσεων, ακατάσχετη ασκησεολογία.

Το πρόβλημα που παρατηρώ με την γ λυκείου είναι οτι λόγω της φύσης των θεμάτων που ζητούντε όλα αυτά τα χρόνια, έχει χαθεί η έμφαση στην κατανόηση των εννοιών και την εμβάθυνση της θεωρίας. Αντίθετα η έμφαση δίνεται σε τεχνικές (χρήσιμες κι αυτές), αλλά το στυλ εξετάσεων που δημιουργήθηκε δεν αναδεικνύει τη μαγεία των μαθηματικών, την πρακτική τους διάσταση και δεν ελκύει το μέσο και αδύνατο μαθητή. Για παράδειγμα απ τις πολλές ασκήσεις υπολογισμού ορίου, ο μαθητής απο κάποιο σημείο κι έπειτα ξεχνά τη σημασία της έννοιας και στέκεται σε λογιστικά τερτίπια. Δε λέω να το κάνουμε όπως στο πανεπιστήμιο, όπου η έμφαση ήταν υπερβολικά στη θεωρία. Επίσης το νόημα της έννοιας της συνέχειας και οι συνέπειες αυτού, η έννοια της ολοκληρωσιμότητας κλπ χάνοντε και γίνεται υπέρμετρη εξάσκηση στην αλγοριθμική εφαρμογή θεωρημάτων διαφορικού λογισμού, όπου το νόημα των συνθηκών που απαιτούν δεν υπεισέρχεται. Άλλο παράδειγμα είναι πως έχει ο μαθητής στο μυαλό του την έννοια παράγωγος? Το μυαλό πάει αμέσως στο να την υπολογίσω. Όμοια για το ολοκλήρωμα. Για να μην αναφερθώ στις περιβόητες εφαρμογές των μιγαδικών που διαβάζουμε στο σχολικό οτι υπάρχουν.

Συχνά σκέπτομαι οτι θα μπορούσε και ένας μαθητής γυμνασίου να ανταπεξέλθει αν του διδάξουμε αλγοριθμικά κάποια σημεία δίχως να επιμείνουμε στο νόημα των εννοιών. Να βρίσκει όριο χωρίς να ξέρει τι είναι ας πούμε ή να υπολογίζει ολοκλήρωμα χωρίς αίσθηση της έννοιας. Οι έννοιες δεν προέκυψαν εν κενώ ή σαν απότοκο μιας αυθεντίας, ούτε υπήρχαν απο πάντα και σε αυτή τη μορφή που έχουν τα σημερινά εγχειρίδια. Δε λέω να κανουμε ιστορία ή φιλοσοφία των μαθηματικών. Δε θεωρώ όμως σημαντικού επιπέδου την ικανότητα του μαθητή να εφαρμόζει μηχανιστικά τα θεωρήματα ύπαρξης στα κατάλληλα διαστήματα. Προφανώς συνδέεται με πρωταρχικά ζητήματα όπως τι είναι τα μαθηματικά, γιατί διδάσκουμε, το εκπαιδευτικό συστημα κλπ. Ο μαθητής τι να κάνει? Σε αυτό το μοτίβο θα εξεταστεί, αρα αυτό μαθαίνει οπωσδήποτε.

Εν κατακλέιδι μπορεί να ακούγεται υπερβολικό σε κάποιους, αλλά έχω την εντύπωση οτι αυτό που λέμε calculus έχει γίνει algebra!

#138

grigkost έγραψε:1) Για το τι δίνεται στην εκφώνηση του θέματος αρκεί να γράψει κανείς την άσκηση αυστηρά με την βοήθεια ποσοδεικτών. Δηλαδή $({\exists\,f})\,({\forall\,{x>0})\,[{\,({ {\bf{p}}(f,x) \ \wedge \ {\bf{q}}(f,x) \ \wedge \ {\bf{r}}(f,x)\,}) \ \rightarrow \ \ldots\,}]$ .

2)
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:...Επίσης αν εννοούσε ότι ισχύουν μόνο για τότε πως μπορεί να αληθεύει για
Ακόμα μια φορά: Δεν υπάρχει κανένας λόγος να αναρωτιόμαστε "τι εννοούσε". Γνωρίζουμε τι δίνεται. Και αυτό που δίνεται είναι ότι οι τρεις σχέσεις ισχύουν για .
Αν αυτές οι σχέσεις ισχύουν (αληθεύουν) και για ή για , αυτό δεν δίνεται και απαιτείται απόδειξη.

Μόνο που δεν είναι έτσι γραμμένη .
Τέλος πάντων δεν αξίζει να το συζητάμε άλλο.

MarKo · #139

batmsup1 έγραψε:Η δική μου πεποίθηση, όπως έθιξε και ο έμπειρος κύριος Λουρίδας, είναι οτι τα τελευταία χρόνια έχει διαμορφωθεί ένα στυλ θεμάτων, στο οποίο οι διαφορετικής σύστασης επιτροπές παραμένουν πιστές. Το γεγονός αυτό αναπόφευκτα στρέφει και την προσπάθεια καθηγητών, συγγραφέων και μαθητών προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση, γιατί απο αυτές τις εξετάσεις θα κριθούν οι μαθητές για την εισαγωγή στα πανεπιστήμια. Το συγκεκριμένο στυλ αφορά ασκήσεις τεχνοκρατικές (αλήθεια που πήγαν τα προβλήματα?), φροντιστηριακού τύπου, που δημιουργούν μια πόλωση σε μεθοδολογία, κατηγοριοποίηση ασκήσεων, ακατάσχετη ασκησεολογία.

Το πρόβλημα που παρατηρώ με την γ λυκείου είναι οτι λόγω της φύσης των θεμάτων που ζητούντε όλα αυτά τα χρόνια, έχει χαθεί η έμφαση στην κατανόηση των εννοιών και την εμβάθυνση της θεωρίας. Αντίθετα η έμφαση δίνεται σε τεχνικές (χρήσιμες κι αυτές), αλλά το στυλ εξετάσεων που δημιουργήθηκε δεν αναδεικνύει τη μαγεία των μαθηματικών, την πρακτική τους διάσταση και δεν ελκύει το μέσο και αδύνατο μαθητή. Για παράδειγμα απ τις πολλές ασκήσεις υπολογισμού ορίου, ο μαθητής απο κάποιο σημείο κι έπειτα ξεχνά τη σημασία της έννοιας και στέκεται σε λογιστικά τερτίπια. Δε λέω να το κάνουμε όπως στο πανεπιστήμιο, όπου η έμφαση ήταν υπερβολικά στη θεωρία. Επίσης το νόημα της έννοιας της συνέχειας και οι συνέπειες αυτού, η έννοια της ολοκληρωσιμότητας κλπ χάνοντε και γίνεται υπέρμετρη εξάσκηση στην αλγοριθμική εφαρμογή θεωρημάτων διαφορικού λογισμού, όπου το νόημα των συνθηκών που απαιτούν δεν υπεισέρχεται. Άλλο παράδειγμα είναι πως έχει ο μαθητής στο μυαλό του την έννοια παράγωγος? Το μυαλό πάει αμέσως στο να την υπολογίσω. Όμοια για το ολοκλήρωμα. Για να μην αναφερθώ στις περιβόητες εφαρμογές των μιγαδικών που διαβάζουμε στο σχολικό οτι υπάρχουν.

Συχνά σκέπτομαι οτι θα μπορούσε και ένας μαθητής γυμνασίου να ανταπεξέλθει αν του διδάξουμε αλγοριθμικά κάποια σημεία δίχως να επιμείνουμε στο νόημα των εννοιών. Να βρίσκει όριο χωρίς να ξέρει τι είναι ας πούμε ή να υπολογίζει ολοκλήρωμα χωρίς αίσθηση της έννοιας. Οι έννοιες δεν προέκυψαν εν κενώ ή σαν απότοκο μιας αυθεντίας, ούτε υπήρχαν απο πάντα και σε αυτή τη μορφή που έχουν τα σημερινά εγχειρίδια. Δε λέω να κανουμε ιστορία ή φιλοσοφία των μαθηματικών. Δε θεωρώ όμως σημαντικού επιπέδου την ικανότητα του μαθητή να εφαρμόζει μηχανιστικά τα θεωρήματα ύπαρξης στα κατάλληλα διαστήματα. Προφανώς συνδέεται με πρωταρχικά ζητήματα όπως τι είναι τα μαθηματικά, γιατί διδάσκουμε, το εκπαιδευτικό συστημα κλπ. Ο μαθητής τι να κάνει? Σε αυτό το μοτίβο θα εξεταστεί, αρα αυτό μαθαίνει οπωσδήποτε.

Εν κατακλέιδι μπορεί να ακούγεται υπερβολικό σε κάποιους, αλλά έχω την εντύπωση οτι αυτό που λέμε calculus έχει γίνει algebra!

Πόσο δίκαιο έχεις.
Ειδικά σε αυτό που αναφέρεις :πως έχει ο μαθητής στο μυαλό του την έννοια παράγωγος? Το μυαλό πάει αμέσως στο να την υπολογίσω. .

Δημήτρης Μοσχόπουλος · #140

Μια και θέτουμε και γενικότερα ζητήματα εδώ, ας παίξω τον συνήγορο του διαβόλου.

Έδωσα εξετάσεις πρώτη φορά το 1992 στην Β΄Δέσμη, οπότε επί των θεμάτων των Μαθηματικών δεν είχα άποψη.
Αφού έφαγα τα μούτρα μου (το ήξερα, αλλά άργησα τότε ν' αλλάξω Δέσμη), ξαναπροσπάθησα το 1993 στην Α΄Δέσμη.
Αφού ξαναέφαγα τα μούτρα μου (επειδή δεν προσπάθησα όσο έπρεπε), πήγα για την τρίτη και φαρμακερή. Τότε (εξετάσεις 1994), όπως και το 1993, η εξεταστέα ύλη ήταν ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ της σημερινής. Εν συντομία μόνο αναφέρω ότι περιείχε (το κάνω για όσους ίσως δεν γνωρίζουν σε ποια θέματα εξεταζόμασταν τότε) :

Πίνακες - Συστήματα - Αναναλυτική Γεωμετρία - Μιγαδικοί (ΟΛΟ το κεφάλαιο, και όχι το 1/3 όπως σήμερα) - Όρια - Διαφορικός Λογισμός - Ολοκληρωτικός Λογισμός.

Γιατί τα λέω όλ' αυτά;

Αν, σήμερα, ενιστάμεθα (εμού μη εξαιρουμένου, απλά δέχομαι και παίζω με τους όρους του παιχνιδιού όπως έχουν πλέον γίνει) για το ότι ο μαθητής, όταν ακούει-διαβάζει "να βρω την παράγωγο", μεταφράζει "να την υπολογίσω", τί διαφορετικό κάναμε τότε, που είχαμε ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ύλη; Εμβαθύναμε μήπως στις έννοιες; Στον ίδιο χρόνο (εννοώ το χρονικό διάστημα του σχολικού έτους) έπρεπε να "μάθουμε" πολλάααα περισσότερα απ' ό,τι οι ίδιοι σήμερα "διδάσκουμε" (με εισαγωγικά, διότι ούτε 'γω το θεωρώ διδασκαλία αυτό, αλλά εκμάθηση τεχνικών) και είχαμε την πολυτέλεια (διότι περί τέτοιας πρόκειται) να εμβαθύνουμε και να καταλάβουμε τί σημαίνει "να βρω την παράγωγο"; (μια και χρησιμοποίησα αυτό το παράδειγμα)

ΔΕΝ ΝΟΜΙΖΩ ! Ή, μάλλον, ΕΙΜΑΙ ΣΙΓΟΥΡΟΣ ότι δεν το κάναμε, όση καλή διάθεση κι αν (θεωρητικά) είχαμε. Αν το κάναμε, απλά θα βλέπαμε ότι ο χρόνος δεν θα έφτανε με τίποτα, όσο διάβασμα κι αν κάναμε!

Προς τί όλ' αυτά που λέω-υπενθυμίζω; Διότι ΤΙΠΟΤΑ δεν έχει, τελικά, αλλάξει, κι ας πέρασαν 19 (!!!) χρόνια από το χρονικό σημείο αναφοράς που έβαλα (έτος 1993). Πηγαίνοντας λίγο πιο πίσω χρονικά, απλά θα μεγαλώσουμε το χρονικό διάστημα, μα δεν θα δούμε κάτι διαφορετικό. Αν είναι, δε, να περιορίσουμε αυτό το διάστημα, σε μια δεκαετία ας πούμε, τότε θα πούμε τα ίδια, απλά για μια δεκαετία.

Έχει παγιωθεί, σωστά ή όχι, ένα ύφος θεμάτων, που αντιμετωπίζονται με τρόπο "όταν ζητείται αυτό, τότε κάνεις: 1ο βήμα αυτό, 2ο βήμα αυτό..." και πάει λέγοντας. ΝΑΙ, συμφωνώ ότι αυτό δεν είναι διδασκαλία Μαθηματικών, αλλά μαθηματικοί κομπογιαννιτισμοί (ας μου συγχωρεθεί η έκφραση). Όταν κάποια ερωτήματα ξεφύγουν, λιγότερο ή περισσότερο, απ' αυτή την οδό, αρχίζουν οι γκρίνιες...

Δεν βλέπουμε όλοι μας ότι, ειδικά τα τελευταία 3 χρόνια, τα θέματα απαιτούν ΚΑΙ ταχύτητα στο γράψιμο, πέραν της ταχύτητας της σκέψης; Γιατί κρυβόμαστε πίσω απ' το δάχτυλό μας; Δεν το εξηγούμε αυτό στους μαθητές μας; Ναι, το εξηγούμε και προσπαθούμε να τους προπονήσουμε σ' αυτό το πνεύμα. Τώρα, ότι διαφωνούμε με το σύστημα αυτό, είναι άλλου παπά ευαγγέλιο (μην ξεχνάτε, κάνω τον συνήγορο του διαβόλου). Ως Δημήτρης Μοσχόπουλος, διαφωνώ με την εκ των υστέρων γκρίνια "ήταν πολλά, ήθελε να γράφω συνέχεια" και τα όμοια, διότι εκ των προτέρων ξέρουμε ότι έτσι θα είναι!! Προς τί, επομένως, η γκρίνια;

Να μην σας κουράσω άλλο, είναι και περασμένη η ώρα...

Ευχαριστώ για το βήμα που μου δίνετε να εκφράσω τις απόψεις μου.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση