διαφορική

parmenides51 · #1

Μια διαφορική από τον Mr.Ore

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:D_f=\left(0,\frac{1}{{e}^{2}}\right)\cup \left(\frac{1}{{e}^{2}},+\infty\right)\to \mathbb{R}}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{D_f}$ με $\displaystyle{f(1)=1 , f\left(\frac{1}{{e}^{3}}\right)=-1}$

τέτοια ώστε $\displaystyle{2xf'(x)+f^{2}(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in D_f}}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Κάτι δεν μου πάει καλά στην άσκηση... νομίζω ότι η συνάρτηση είναι (την αποδεικνύω αν θες) η $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{2}{{\ln x + 2}},x \in {D_f}}$ και πρέπει η αρχική συνθήκη να είναι $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{{{e^3}}}} \right) = - 2}$ και όχι $\displaystyle{ - 1}$ που πληκτρολόγησες Parm.

Έτσι νομίζω, δες την ξανά...

Mr.Ore · #3

Επειδή εγώ πρότεινα την άσκηση στον Parm ,αντιμετώπιζα κυρίως πρόβλημα στη δικαιολόγηση για το $f(x)\neq 0$ .
Eπίσης, επειδή το θεώρημα $f'(x)=g'(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+c$ ισχύει για διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων δεν θα έπρεπε να βγαίνει δίκλαδη η συνάρτηση;

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Η αρχική σχέση είναι αυτή που γράφει ο Parm ή όχι; Για να ξεκινήσουμε και να τα βάλουμε όλα σε μια σειρά...

minast1994 · #5

Mr.Ore έγραψε:Επειδή εγώ πρότεινα την άσκηση στον Parm ,αντιμετώπιζα κυρίως πρόβλημα στη δικαιολόγηση για το $f(x)\neq 0$ .
Eπίσης, επειδή το θεώρημα $f'(x)=g'(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+c$ ισχύει για διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων δεν θα έπρεπε να βγαίνει δίκλαδη η συνάρτηση;

Δεν είναι απαραίτητο να βγεί δίκλαδη αλλά όταν εφαρμόστει η συνέπεια του ΘΜΤ θα πρέπει να είναι σε διάστημα,και όχι ένωση διαστημάτων

Mr.Ore · #6

Η άσκηση ειναι σωστή.Αν μπόρουσε κάποιος να γράψει αναλυτικά τη λύση θα ήμουν ευγνώμων.

dennys · #7

mr Ore

Ηθελα να σε ρωτήσω πως είσαι σίγουρος ότι είναι σωστή ?

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αμφιβόλου προέλευσης.

Παρόμοια υπάρχει σε κάποιο βιβλίο ,αλλά μην μας πιάνει τρέλλα με κάθε άσκηση γιατί κυκλοφορούν πολλές λάθος.

dennys

Mr.Ore · #8

Αν θέλετε μπορώ να σας πω απο ποιο βιβλίο την βρήκα.Κοίταξα τις λύσεις πίσω και δεν αιτιολογούσε ότι η συνάρτηση πρέπει να είναι διάφορη του μήδεν.Ωστόσο χρησιμοποίησε τα δεδομένα όπως είναι.

mathxl · #9

Για $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{{{e^2}}}} \right)}$
Είναι
$\displaystyle{2xf'(x) + {f^2}(x) = 0 \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }}} \right)^\prime } = 0}$
Άρα $\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} = {c_1}}$ που για $\displaystyle{x = \frac{1}{{{e^3}}}}$ δίνει $\displaystyle{{c_1} = - 1}$ άρα $\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = - {e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} < 0}$ , έτσι μπορούμε να διαιρέσουμε στην αρχή με $\displaystyle{{f^2}(x)}$ και να βρούμε $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{2}{{\ln x + 1}}}$ .
Δουλεύοντας όμοια για $\displaystyle{x \in \left( {\frac{1}{{{e^2}}}, + \infty } \right)}$ βρίσκουμε τον τύπο που έδωσε ο Μάκης.

Ποια η πηγή;;

STOPJOHN · #10

Θα προσπαθήσω να γράψω τη λύση επισημαίνοντας κάποιες ατέλειες .....΄εστω ότι $f(x)\neq 0,x\epsilon D_{f}$ ,η περίπτωση f(x)=0

στο τέλος....της άσκησης . $2xf(x)+f^{2}(x)=0\Leftrightarrow \frac{-f'(x)}{f^{2}(x)}=\frac{1}{2x}$ Άρα $\frac{1}{f(x)}=\frac{lnx}{2}+c$ Για $x>1>\frac{1}{e^{2}},f(x)>0$ Συνεπώς $f(x)=\frac{2}{lnx+2},x\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},+\propto \right)$ ομοίως στο άλλο διάστημα του πεδίου ορισμού που προφανώς η συνάρτηση έχει αρνητικές τιμές είναι $f(x)=\frac{2}{lnx+1},x\epsilon \left(0,\frac{1}{e^{2}} \right)$ Οι αρχικές συνθήκες επαληθεύονται και η δοθείσα σχέση ικανοποιούνται .Απο τη σχέση που δόθηκε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα . Υποθέτουμε ότι υπάρχει $x_{0},f(x_{0})=0$ $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{3}},\frac{1}{e^{2}} \right)\Rightarrow f(x_{0})<f(\frac{1}{e^{3}})\Rightarrow 0<-1$ άτοπο.Ομοίως για $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},1 \right)$ ομοιως έχουμε άτοπο....
Αν το $x_{0}$ κινηθεί σε άλλο διάστημα δεν έχουμε άτοπο....
Γιάννης

Mr.Ore · #11

Το βιβλίο του Νίκου Τάσου,μαθηματικά κατεύθυνσης γ'λυκείου εκδόσεις πουκαμισά.
Ωραία λύση ευχαριστώ

dennys · #12

Καπως έτσι σαν τον Γιάννη την είδα ,και αξιολόγησα ότι θα έπρεπε να δοθεί οτι $f(x)\neq 0$ .

Φυσικά ο Βασίλης την είδε διαφορετικά και εκανε τέχνασμα του e .Μπράβο mathxl.

Τι είναι ομως το '' τέχνασμα του e '',Ας την δώσω σαν κάτι χρήσιμο για τους μαθητές .

χρήση : Αν εχουμε μορφή. f{'}(x)+g(x)f(x)=0

η στο δεύτερο μέλος κάτι άλλο.δηλ θέλουμε 'καθαρή την f{'}(x)

απο συντελεστές και τα άλλα όπως στην σχέση.

Bρίσκω αρχική της g(x)

,εστω

και πολ΄/ζω την ισότητα με $e^{G(x)}$ και έτσι προκύπτει

$(e^{G(x)}f(x)){'}=0\Rightarrow e^{G(x)}f(x)=c$ κλπ.

πχ δίνεται f{'}(x)+3f(x)=0

,αρχική της g(x)=3, G(x)=3x

και πολ/ζω με $e^{3x}\Rightarrow e^{3x}f{'}(x)+3e^{3x}f(x)=0\Rightarrow (e^{3x}f(x)){'}=0$

Στην συγκεκριμένη καθαρίζω την f{'}(x)

διαιρώντας με 2χ $\neq 0$ αφου χ>0 και έχουμε

$f{'}(x)+\frac{1}{2x}f(x)f(x)=0$ αρα θέλουμε αρχικη της $\cfrac{f(x)}{2x}$ που είναι $\int_{\frac{1}{e^3}}^{x}\cfrac{f(t)}{2t}dt$ και συνεχίζω την

μέθοδο.

φιλικα dennys

Μάκης Χατζόπουλος · #13

STOPJOHN έγραψε:Θα προσπαθήσω να γράψω τη λύση επισημαίνοντας κάποιες ατέλειες .....΄εστω ότι $f(x)\neq 0,x\epsilon D_{f}$ ,η περίπτωση στο τέλος....της άσκησης . $2xf(x)+f^{2}(x)=0\Leftrightarrow \frac{-f'(x)}{f^{2}(x)}=\frac{1}{2x}$ Άρα $\frac{1}{f(x)}=\frac{lnx}{2}+c$ Για $x>1>\frac{1}{e^{2}},f(x)>0$ Συνεπώς $f(x)=\frac{2}{lnx+2},x\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},+\propto \right)$ ομοίως στο άλλο διάστημα του πεδίου ορισμού που προφανώς η συνάρτηση έχει αρνητικές τιμές είναι $f(x)=\frac{2}{lnx+1},x\epsilon \left(0,\frac{1}{e^{2}} \right)$ Οι αρχικές συνθήκες επαληθεύονται και η δοθείσα σχέση ικανοποιούνται .Απο τη σχέση που δόθηκε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα . Υποθέτουμε ότι υπάρχει $x_{0},f(x_{0})=0$ $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{3}},\frac{1}{e^{2}} \right)\Rightarrow f(x_{0})<f(\frac{1}{e^{3}})\Rightarrow 0<-1$ άτοπο.Ομοίως για $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},1 \right)$ ομοιως έχουμε άτοπο....
Αν το $x_{0}$ κινηθεί σε άλλο διάστημα δεν έχουμε άτοπο....
Γιάννης

Τώρα μπήκα και είδα τις λύσεις σας, καταπληκτική του Βασίλη! Σε βγάζει από τις κακοτοπιές όπως της λύσης (και είναι αυτή που είχα κατά νου) του Γιάννη.

Απλά να σημειώσω ότι, η συνάρτηση

είναι (απλά) φθίνουσα.

parmenides51 · #14

μια παρόμοια

Aς σημειωθεί πως ο τρόπος επίλυσης της παραπομπής δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην παρούσα άσκηση,
όπως αποτυγχάνει να εφαρμοστεί σε όλα τα διαστήματα το άτοπο του Γιάννη (STOPJOHN).

διαφορική

διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Μέλη σε σύνδεση