Δεν υπάρχει

mathxl · #1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|>1

για κάθε

πραγματικούς αριθμούς με $x\neq{y}$ .

#2

Μια υπόδειξη
Μπορούμε να καλύψουμε το R με διαστήματα πλάτους 2 της μορφής (a-1,a+1)

#3

mathxl έγραψε:Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|>1 για κάθε x,y, πραγματικούς αριθμούς με x διαφορετικό του y

Υπόδειξη για την ωραία αυτή άσκηση: Από την υπόθεση έπεται ότι υπάρχει το πολύ ένα f(x) στα αριθμήσιμα το πλήθος σύνολα [n, n+1] (όπου n ακέραιος). Όμως R μη αριθμήσιμο. Άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#4

Για να γίνω σαφής
Ἐστω f όχι σταθερή και f(y)=a
Τότε στο (α-1,α+1) δεν πρέπει να υπάρχει καμιά εικόνα της f
Μετακινώντας το α πχ κατά 1/2 ούτε στο (α-1/2,α+3/2) δεν πρέπει να υπάρχει καμιά εικόνα της f , συνεπώς δεν πρέπει να υπάρχει καμιά εικόνα της f στο (α-1,α+3/2) κοκ (α-1,α+2) δημιουργώντας έτσι διάστημα (α-ν,α+ν) που δεν θα πρέπει να υπάρχει καμιά εικόνα της f
Για αρκετά μεγάλο θετικό ακέραιο ν το f(x) θα βρεθεί σε ένα τέτοιο διάστημα άτοπο
Αν f σταθερή τότε 0>1 πάλι άτοπο

#5

R BORIS έγραψε:
δημιουργώντας έτσι διάστημα (α-ν,α+ν) που δεν θα πρέπει να υπάρχει καμιά εικόνα της f

Ροδόλφε,

καταπληκτική η λύση σου, όπως άλλωστε όλες οι λύσεις σου σε ανορθόδοξες ερωτήσεις.

Για την συγκεκριμένη, έσπαγα το κεφάλι μου να βρω μία λύση που δεν χρησιμοποιεί πληθάριθμο του R αλλά
δεν τα κατάφερα. Σε ευχαριστώ εκ μέρους όλων!

Φιλικά,

Μιχάλης

#6

Νομίζω πως έχει ξανασυζητηθεί εδώ viewtopic.php?f=9&t=9004

#7

Σπύρο, οι παραπάνω αναρτήσεις είναι του 2009...

Μ.

#8

Μιχάλη, συγνώμη, δεν το πρόσεξα. Είδα τη συναρτησιακή τώρα από το αρχείο του Socrates

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση