Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Apo.Antonis · #1

Η άσκηση:
Δίνεται η παραβολή y^2 = 4x

και δύο σημεία της A(1,-2)

και

Αν το σημείο

κινείται στο τόξο της παραβολής ανάμεσα στα σημεία

και

να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου APB

.

Η άσκηση προέρχεται από διαγώνισμα τετραμήνου Α' Λυκείου στην Κίνα. Αν έχω καταλάβει σωστά δινόταν και σχήμα.

Μια λύση που προτάθηκε από την μαθήτρια η οποία έθεσε την άσκηση,
είναι η εύρεση εφαπτομένης η οποία είναι παράλληλη ως προς την ευθεία που διέρχεται από τα δοσμένα σημεία.

Εν συντομία:
$(\epsilon_{AB}): x-y+1=0$ , επομένως η ζητούμενη ευθεία είναι $(\zeta): x-y+\Gamma=0$
αντικαθιστώντας από την παραβολή η εξίσωση γίνεται:
$y^2-4y+4\Gamma=0$

Σε αυτό το σημείο θέλω να ρωτήσω αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι η εξίσωση θα πρέπει να έχει διπλή ρίζα
(και κάθε φορά αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι η διπλή ρίζα ισοδυναμεί με σημείο επαφής).

#2

Apo.Antonis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 7:50 pm

Σε αυτό το σημείο θέλω να ρωτήσω αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι η εξίσωση θα πρέπει να έχει διπλή ρίζα
(και κάθε φορά αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι η διπλή ρίζα ισοδυναμεί με σημείο επαφής).

Ναι
Καλύπτεται από τα σχόλια στην εφαρμογή της παραγράφου 3.5
" Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή αν είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα Δ = 0, τότε αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής."

Apo.Antonis · #3

Ευχαριστώ πάρα πολύ, μου είχε διαφύγει (εντελώς, αλλά είναι πλεονασμός! )

#4

Apo.Antonis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 7:50 pm

είναι η εύρεση εφαπτομένης η οποία είναι παράλληλη ως προς την ευθεία που διέρχεται από τα δοσμένα σημεία.

Πως αιτιολογείται αυτό ; Ξέρουμε ότι η παραβολή είναι κυρτή ή κοίλη , κατά περίπτωση ;

Apo.Antonis · #5

Στην εύρεση της εφαπτομένης προκύπτει $(\zeta): x-y+1=0$ και το σημείο επαφής έχει συντεταγμένες P(1,2)

με $d(P,\epsilon_{AB}) = 2\sqrt{2}$

Αν υπάρχει σημείο της παραβολής $M(x_{m}, 2\sqrt{x_{m}}), x\in[0,9)$ ή $M(x_{m},-2\sqrt{x_{m}}), x\in(0,1)$ με μεγαλύτερη απόσταση (η βάση

είναι σταθερή)
θα πρέπει $d(M,\epsilon_{AB}) > 2\sqrt{2} \Leftrightarrow |x_{m} \pm 2\sqrt{x_{m}} -3|>4 \Leftrightarrow |(\sqrt{x_{m}}\pm 1)^2-4|>4$
το οποίο καταλήγει σε λύσεις που απορρίπτονται
η περίπτωση $M(x_{m}, 2\sqrt{x_{m}}),$ έχει λύση $x > 9 + 4\sqrt{2}$
και η περίπτωση $M(x_{m}, -2\sqrt{x_{m}}),$ έχει λύση $x > 9 - 4\sqrt{2}$

Δεν νομίζω ότι χρειαζόμαστε την κυρτότητα. Πάντως την "ίδια" ερώτηση, δηλαδή γιατί παράλληλη, έκανα και εγώ.
Να πω σε αυτό το σημείο ότι η μαθήτρια δέχτηκε ως προφανές ότι η παράλληλη θα δώσει σημείο με την μεγαλύτερη απόσταση. Δεν είχα κάποιο σχόλιο σε αυτό και έτσι δεν αναφέρθηκα στην αρχή, αν όμως υπάρχει πιο σύντομη αιτιολόγηση φυσικά είναι ευπρόσδεκτη.

Από κάτω το πρωτότυπο ... κινέζικα μου φαίνονται!

abgd · #6

Το ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο στο σημείο στο οποίο εφάπτεται ευθεία παράλληλη στην $\displaystyle AB$ είναι κάτι το οποίο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς αιτιολόγηση...
Μια ενδεδειγμένη λύση για την άσκηση είναι η εξής:

Η εξίσωση της $\displaystyle AB$ είναι η $\displaystyle x-y-3=0$ και αν $\displaystyle P\left(\frac{a^2}{4},a\right), a \in (-2,6)$ τότε, για την εύρεση του μέγιστου $\displaystyle (ABP)$ ,

αρκεί να βρούμε το μέγιστο ύψος του από το $\displaystyle P$ , δηλαδή την μέγιστη τιμή της απόστασης του $\displaystyle P$ από την $\displaystyle AB$ η οποία είναι:

$\displaystyle \frac{\left|\frac{a^2}{4}-a-3\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|a^2-4a-12\right|}{4\sqrt{2}}=\frac{-a^2+4a+12}{4\sqrt{2}}, \forall a \in (-2,6)$

Όμως $\displaystyle \frac{-a^2+4a+12}{4\sqrt{2}}=\frac{16-(a-2)^2}{4\sqrt{2}} \leq 2\sqrt{2}$ , με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle a=2$ και συνεπώς όταν $\displaystyle P(1,2)$

....Το μέγιστο εμβαδόν θα είναι $\displaystyle 16$

Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Re: Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Re: Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Re: Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Re: Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Re: Μια "εισαγώμενη" άσκηση Αναλυτικής Γεωμετρίας

Μέλη σε σύνδεση