mathematica.gr

Στο Study4exams (Μαθηματικά Γενικής , Επαναληπτικά Θέματα , Κεφ 3 ,Θέμα Δ , άσκηση 1 ) , υπάρχει αυτό που βλέπετε στο συνημμένο .
Τι γίνεται σε σχέση με τον ορισμό του συνόλου που αναφέρει το βιβλίο της Α΄Λυκείου ;

Θέλετε να θίξετε το γεγονός ότι το περιέχεται 2 φορές στο σύνολο;

Αυτό ακριβώς .
Από την άλλη όμως , οταν ορίζουμε ένα σύνολο , ποτέ δεν βάζουμε περιορισμό ότι τα στοιχεία του είναι διαφορετικά .
Θεωρείται αυτονόητο ότι είναι ;
Δεν ενοχλεί αν είναι ίδια ;

Δεν απαγορεύεται ένα στοιχείο να αναγράφεται δύο φορές. Η άσκηση όμως είναι λανθασμένη διότι τότε το έχει τρία στοιχεία και το άθροισμα των πιθανοτήτων δεν ισούται με 1 αλλά με .

Αντιγράφω από το σχολικό Α' Λυκείου:

"Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο"

Μάλιστα, λίγο πιο πάνω διευκρινίζει ότι για να ονομαστεί σύνολο, θα πρέπει τα στοιχεία του να μπορούμε να τα ξεχωρίσουμε.

Θα συμφωνήσω με τον Δημήτρη που γράφει

Demetres έγραψε:Δεν απαγορεύεται ένα στοιχείο να αναγράφεται δύο φορές.

Πρόκειται για ένα λεπτό σημείο που σηκώνει πολλή συζήτηση. Όταν π.χ. γράφουμε

nik21 έγραψε: "Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο"

Μάλιστα, λίγο πιο πάνω διευκρινίζει ότι για να ονομαστεί σύνολο, θα πρέπει τα στοιχεία του να μπορούμε να τα ξεχωρίσουμε.

εννοούμε ότι μπορούμε να αποφανθούμε αν δύο αναγραφές σημαίνουν το ίδιο στοιχείο.

Το στάνταρ παράδειγμα είναι το ακόλουθο: Γράφουμε

και όλοι θα συμφωνήσουμε ότι είναι ένα καλά ορισμένο σύνολο. Να όμως που το εμφανίζεται δύο φορές, μία ως και μία ως .

Άλλο παράδειγμα, με πεπερασμένο σύνολο: κανένας δεν προβληματίζεται με το σύνολο

. Να όμως που το εμφανίζεται τρεις φορές, ως ως και ως . Απλά αυτό που εννοούμε ότι το σύνολο αυτό έχει τρία στοιχεία και όχι πέντε όπως φαίνεται εκ πρώτης όψεως.

Μ.

nik21 έγραψε: "Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο"

Θέλω να διευκρινίσω λίγο περισσότερο το σημείο που έγραφα στο προηγούμενο ποστ.

Ακολουθώ τον Halmos, Naive Set Theory, Kεφάλαιο , ο οποίος ξεκαθαρίζει το ζήτημα:

Ένα από τα αξιώματα της συνολοθεωρίας, λέει ο halmos, είναι το λεγόμενο "αξίωμα ζεύξης" (axiom of pairing) σύμφωνα με το οποίο αν δύο αντικείμενα (π.χ. ήδη ορισμένα σύνολα) τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο που έχει στοιχεία τα και τίποτα άλλο. Το σύνολο αυτό ονομάζεται "ζεύγος χωρίς διάταξη" (unordered pair) και το συνηθισμένο του σύμβολο είναι . Ειδικά μπορούμε να κατασκευάσουμε το ζεύγος χωρίς διάταξη . Το τελευταίο συμβολίζεται απλούστερα ως και ονομάζεται "το μονοσύνολο του ". Χαρακτηρίζεται από την δήλωση, λέει ο Halmos, ότι περιέχει το ως το μοναδικό του στοιχείο.

Νομίζω ότι με τα παραπάνω σχόλια του Halmos, να ξεκαθαρίζει το τοπίο.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΠΕΡΙΤΤΑ

Αντιγράφω από το βιβλίο μου «ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ» ( έκδοση1973) σελίδα 32 ( δεν έχω τις τεχνικές γνώσεις για να παρουσιάσω αυτούσια την σελίδα του βιβλίου αυτού. Αν κάποιος συνάδελφος έχει το βιβλίο και μπορεί, τον παρακαλώ να την παρουσιάσει ):
1.1. Περί της εννοίας του συνόλου.
…………………………………………………………………………………………………
Εις τα Μαθηματικά οι όροι «σύνολον» και «στοιχείον συνόλου» λαμβάνονται ως αρχικοί(§ 0.10) (δεν ορίζονται). Επεξηγηματικώς δυνάμεθα να είπωμεν ότι: Εις τα μαθηματικά δεχόμεθα ότι πολλά «ορισμένα» και «διακρίσιμα» μεταξύ των αντικείμενα δύνανται να θεωρούνται ως μια ολότης, δηλαδή ως εν νέον αντικείμενον , το οποίον λέγομεν ότι είναι το σύνολον των αρχικώς θεωρουμένων αντικειμένων. Τα αρχικώς θεωρούμενα αντικείμενα, εκ των οποίων (ως λέγομεν) αποτελείται το σύνολον, λέγομεν ότι είναι τα στοιχεία του συνόλου και ότι ανήκουν εις το σύνολον. …
 Εκ των ανωτέρω, τα αντικείμενα, τα οποία προορίζονται διά να αποτελέσουν εν σύνολον οφείλουν να είναι:
α) Διακρίσιμα μεταξύ των. Τούτο σημαίνει ότι: θεωρούντες δύο οιαδήποτε εκ των εν λόγω αντικειμένων πρέπει να δυνάμεθα να είπωμεν, κατά ακριβώς ένα τρόπον, ότι τα αντικείμενα αυτά είναι διάφορα ή όχι (§ 0.2).
Ούτω, η έννοια του συνόλου είναι συνδεδεμένη με την έννοιαν της σχέσεως ισότητος ωρισμένης μεταξύ των στοιχείων του, βάσει της οποίας δυνάμεθα να διακρίνωμεν ταύτα μεταξύ των. Η σχέσης αυτή της ισότητος, ήτις συντελεί εις τον προσδιορισμόν ενός συνόλου, καλείται βασική ισότης του συνόλου ( εις αντιδιαστολήν προς άλλας σχέσεις, αι οποίαι ως θα ίδωμεν εις στα επόμενα, δύνανται να εισαχθούν μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου και αι οποίαι καλούνται πολλάκις πάλιν ισότητες).
β) Ωρισμένα. Τούτο σημαίνει……..

Σχόλιο. Τα στοιχεία ενός συνόλου οφείλουν να είναι διακρίσιμα μεταξύ τους, δηλαδή να μπορούμε να διακρίνουμε το ένα από το άλλο και όχι απαραίτητα διακεκριμένα, δηλαδή διαφορετικά.Δεν αποκλείεται ένα σύνολο να περιέχει δύο ή περισσότερα ίσα στοιχεία. Για παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο: . Βεβαίως: .

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αντιγράφω από το βιβλίο μου «ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ» ( έκδοση1973) σελίδα 32 ( δεν έχω τις τεχνικές γνώσεις για να παρουσιάσω αυτούσια την σελίδα του βιβλίου αυτού. Αν κάποιος συνάδελφος έχει το βιβλίο και μπορεί, τον παρακαλώ να την παρουσιάσει )

Αγαπητέ Γιάννη. Σε ευχαριστώ πολύ

exdx έγραψε:Αυτό ακριβώς .
Από την άλλη όμως , οταν ορίζουμε ένα σύνολο , ποτέ δεν βάζουμε περιορισμό ότι τα στοιχεία του είναι διαφορετικά .
Θεωρείται αυτονόητο ότι είναι ;
Δεν ενοχλεί αν είναι ίδια ;

Γενικά στα Μαθηματικά είναι θέμα ορισμού ή αλλιώς συμφωνίας.
Ο Hausdorff (Set Theory, Chelsea, 1962 σελίδα 12) γράφει
"'Ετσι τα , ,
είναι τα σύνολα που απαρτίζονται από το στοιχείο , τα δύο στοιχεία και τα τρία στοιχεία αντιστοίχως."
Ο Kamke (Theory of Sets, Dover, 1950, σελίδα 1) γράφει:
"Επιπλέον το ίδιο στοιχείο δεν επιτρέπεται να εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Κατά συνέπεια το σύμπλεγμα αριθμών 1, 2, 1, 2, 3 γίνεται σύνολο μόνο μετά την διαγραφή των επαναλαμβανομένων στοιχείων"
Οι Κριτικός-Σωτηράκης (Στοιχεία από την Θεωρία Συνόλων, ΑΠΘ, 1971 σελίδα 4) γράφουν:
"Παρατήρηση 4. Τα στοιχεία ενός συνόλου είναι ανά δύο διαφορετικά επομένως όταν αναγράφουμε τα ονόματα ει΄τε τα σύμβολα τους μέσα στο άγκιστρο πρέπει να είναι διαφορετικά ανά δύο. Π.χ. το σύνολο
είναι ψηφίο του αριθμού
σημειώνεται με αναγραφή των στοιχείων του
έτσι: και όχι έτσι "
Ο Fehr (Εισαγωγή εις την Θεωρίαν των Συνόλων στον τόμο Διαλέξεις εις τα σεμινάρια δια την πειραματικήν διδασκαλίαν των Νέων Μαθηματικών, ΥΠΕΠΘ, 1964) γράφει:
"Κατά την παράστασιν ενός συνόλου ουδέποτε επαναλαμβάνομεν το αυτόν στοιχείονκαι ακόμη η τάξις των στοιχείων δεν επηρεάζει το σύνολον. Ούτω είναι απλώς το σύνολον ... "

Από την άλλη μεριά σε πολλά και σημαντικά βιβλία οι συγγραφείς τους "επιτρέπουν" την πολλαπλή γραφή των στοιχείων. Ενδεικτικά εκτός από το βιβλίο του Halmos που ανέφερε ο Μιχάλης αναφέρω τα:
Bourbaki, Set Theory, Addison-Wesley, 1968, σελίδα 69
Μοσχοβάκης, Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία, Νεφέλη, 1993, σελίδα 3
Kaplansky, Set Theory and Metric Spaces, Chelsea, 1977, σελίδα 3
Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, σελίδα 31
Επομένως, κατά την γνώμη μου, δεν τίθεται θέμα μαθηματικής ορθότητας.

Στα σχολικά Μαθηματικά δηλαδή στις επιλογές που έχουν κάνει οι συγγραφείς των σχολικών βιβλίων τα πράγματα είναι περίεργα:
1) 1967 Στο βιβλίο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου ΟΕΔΒ γραμμένο από επιτροπή του ΥΠΕΠΘ στην σελίδα 38 όπου περιλαμβάνονται τα περί αναγραφής δεν αναφέρεται τίποτε για την επανάληψη στοιχείων.
2) 1968 Στο βιβλίο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου ΟΕΔΒ (Κατσαρλίνος, Μπαϊμπάς) γράφει
"μάλιστα επιδή τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι ανα δύο διαφορετικά (διακεκριμένα) δεν αναγράφομεν δύο φοράς το αυτό στοιχείον"
3) 1968 Στο βιβλίο Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου (Μπούσγος, Ταμβακλής) στη σελίδα 8 δεν αναφέρεται τίποτε για το θέμα της επανάληψης.
4) 1968 Στο βιβλίο Μαθηματικά Δ' Γυμνασίου ΟΕΔΒ (Βαβαλέτσκος, Μπούσγος) στις σελίδες 8-9 πάλι δν υπάρχει καμία μνεία.
5) 1978 Στο βιβλίο Μαθηματικά Α' Γυμνασίου ΟΕΔΒ (Πατεράκης, Σταυρουλάκης, Φωτόπουλος) που αντικατέστησε το 2) στην σελίδα 14 δεν γίνεται μνεία.

Μετά το 1986 τα σύνολα δεν διδάσκονται στο Γυμνάσιο και στοιχεία μόνο διδάσκονται στο Λύκειο στην Α΄Τάξη

6) 1990 Στο βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου ΟΕΔΒ (Ανδρεαδάκης, Κατσαργύρης, Παπασταυρίδης, Πολύζος, Σβέρκος) στη σελίδα 58 γράφει
"Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως ένα από τους παρακάτω τρόπους:
α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, από μία φορά το καθένα, χωρίζοντας τα με το κόμμα. "(η υπογράμμιση δική μου).

Επί σειρά ετών όσοι διδάσκουμε σε σχολεία ακολουθούμε αυτόν τον κανόνα.

7) 2010 Στο βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου ΟΕΔΒ (Ανδρεαδάκης, Κατσαργύρης, Παπασταυρίδης, Πολύζος, Σβέρκος) που είναι αναμορφωμένη έκδοση του 6 διαβάζουμε στην σελίδα 14:
"Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως ένα από τους παρακάτω τρόπους:
α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. "
8) 2011 Στο βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου ΟΕΔΒ (Ανδρεαδάκης, Κατσαργύρης, Παπασταυρίδης, Πολύζος, Σβέρκος, Αδαμόπουλος, Δμαιανού) στην σελίδα 14 περιλαμβάνονται τα ίδια με του 7.
"Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως ένα από τους παρακάτω τρόπους:
α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. "

Τίθεται φυσικά το ερώτημα: Ένας μαθητής της Γ΄Λυκείου που εξετάζεται τώρα τί πρέπει να γνωρίζει επί του προκειμένου: Αυτό που διδάχθηκε ή αυτό περιέχει το ισχύον βιβλίο;

Μία άμεση αντιμετώπιση είναι ασκήσεις όπως η παραπάνω που είναι στα σύνορα των εννοιών και των συμβολισμών να μην εξετάζονται. Στο κάτω κάτω δεν θα χάσει και η Βενετιά βελόνι.
Μαυρογιάννης

Για ποιο λόγο έχει επικρατήσει η άποψη τα στοιχεία ενός συνόλου να αναγράφοντε μία μόνο φορα? Προσωπικά έχω δει τη διάκριση set vs multiset. Όταν λέμε λοιπόν έστω ένα σύνολο υποσύνολο του θα πρέπει να θεωρούμε αυτομάτως τον περιορισμό ή μπορεί να ναι και μονοσύνολο? Αν θεωρήσουμε το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης ή το σύνολο των όρων μιας ακολουθίας πραγματικών παίζει ρόλο ο κανόνας που έχουμε υιοθετήσει προκειμένου να μην οδηγηθούμε σε σύγχυση.

Νομίζω ότι ο Νίκος βάζει τα πράγματα στη θέση τους . Είναι θέμα συμφωνίας .
Σαφώς υπάρχει διαφορά ανάμεσα στις λέξεις διακριτός , διακρίσιμος , διακεκριμένος
ή ακόμα στα Αγγλικά : distinct και distinguished (συνημμένο )

Δεν ξέρω τον πρωτότυπο ορισμό του Cantor . Ο δικός μας είναι μετάφραση ;

Ο ορισμός του Cantor από το άρθρο Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Math. Annalen: I. 46 (1895), 481-512. [Υπάρχει εδώ αλλά εγώ έχω πρόσβαση μόνο στην πρώτη σελίδα όπου και βρίσκεται ο ορισμός.]

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von genannt werden) zu einem Ganzen.

Γερμανικά δεν γνωρίζω. Στα βιβλίο τους Foundations of Set Theory οι Fraenkel, Bar-Hillel και Levy απέδωσαν τον ορισμό ως

A set is a collection into a whole of definite distinct objects of our intuition or of our thought. The objects are called the elements (members) of the set.

Μια δική μου μετάφραση του πιο πάνω

Ένα σύνολο είναι μια συλλογή σε μία ολότητα, καλώς ορισμένων διαφορετικών αντικειμένων της εμπειρίας ή της διανόησής μας. Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία (μέλη) του συνόλου.

O ορισμός αυτός δόθηκε από τον Cantor το 1895. Πρέπει να γνωρίζουμε όμως ότι αργότερα ανακαλύφθηκαν διάφορες αντινομίες από τον Burali-Forti, τον ίδιο τον Cantor και από τον Russell. Η πιο γνωστή αυτή του Russell μιλάει για «το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους». Τέτοιο σύνολο όμως δεν μπορεί να υπάρχει διότι δεν μπορεί ούτε να είναι στοιχείο του εαυτού του, ούτε να μην είναι.

Όπως λένε και οι Fraenkel, Bar-Hillel και Levy στο πιο πάνω βιβλιο, αυτές οι αντινομίες καλούσαν σε μια επανεξέταση της έννοιας του συνόλου, η καλύτερα σε επανεξέταση του χειρισμού αυτής της έννοιας. Οι διάφορες διαγνώσεις σχετικά με τις ασθένειες τις συνολοθεωρίας οδήγησαν σε διαφορετικές προσεγγίσεις σχετικά με την θεραπεία τους και μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε τρεις ομάδες. Την αξιωματικη, την λογικιστική (logicistic) και την ιντουϊσιονιστική (intuitionistic) τις οποίες και επεξηγούν στο εν λόγω βιβλίο.

Δεν γνωρίζω αρκετά για τις τελευταίες δύο ομάδες. Στα πανεπιστήμιο συνήθως διδάσκεται η αξιωματική προσέγγιση και πιο συγκεκριμένα αυτή των Zermelo και Fraenkel. Στην συγκεκριμένη προσέγγιση, όπως είπε και ο Αντώνης οι έννοιες του «συνόλου» και του «ανήκει» είναι αρχικές. Τα αξιώματα που υπάρχουν «δεν επιτρέπουν» την κατασκευή συνόλων όπως το «σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους» η παρόμοιων συνόλων τα οποία επίσης οδηγούν σε αντινομίες. Είναι όμως αρκετά ισχυρά ώστε να επιτρέπουν την κατασκευή όλων των συνόλων που χρειαζόμαστε για την ανάπτυξη των μαθηματικών.

Θα ήθελα ενημερωτικά να αναφέρω (ελπίζω να μην επαναλαμβάνω κάτι) ότι:
1) Τα δύο βασικά άρθρα του Cantor όπου εισάγει την Θεωρία Συνόλων έχουν υπάρχουν μεταφρασμένα στα Αγγλικά και έχουν εκδοθεί σε βιβλίο με εκτενή πρόλογο του Jourdain με τον τίτλο
Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers
και μπορούν να βρεθούν δωρεάν εδώ:
http://archive.org/details/contributionstot003626mbp
2) Το έργα αυτό έχει μεταφρασθεί στα Ελληνικά από τον Θάνο Χριστακόπουλο και έχι κυκλοφορήσει το 1998 από τις εκδόσεις Τροχαλία με τον τίτλο:
Συμβολές στη Θεμελίωση της Θεωρίας των Υπερπεπερασμένων Αριθμών
Αντιγράφω τον ορισμό του Cantor για το σύνολο:
Με "σύνολο" θα κατανοούμε οποιαδήποτε συλλογή σε ένα όλο καθορισμένων και διακεκριμένων αντικειμένων της διαίσθησης ή της σκέψης μας. Αυτά τα αντικείμενα αποκαλούνται "στοιχεία" του .
Μαυρογιάννης