Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Jim P · #1

Καλημέρα.Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ότι το όριο $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ονομάζεται στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής.Μου δημιουργήθηκε η απορία πως ο όρος "στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής έχει νόημα" καθώς για να έχουμε μεταβολή θέλουμε 2 σημεία και όταν λέμε "στιγμιαία" αναφερόμαστε σε ένα σημείο.
Επίσης, καταλαβαίνω ότι σύμφωνα με την θεωρία του ορίου, έχουμε 2 σημεία, το $x_{0}$ και το

είναι πάρα πολύ κοντα σε αυτό το $x_{0}$ αλλά αν όντως μιλάμε για 2 σημεία, πως κάνουμε λόγο στην συνέχεια για συντελεστή διευθυνσης εφαπτομένης, η οποία έχει μόνο 1 σημείο τομής με μία καμπύλη?Το μόνο σκεπτικό που κάπως με βοηθάει είναι ότι μόλις βρούμε το όριο $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (χρησιμοποιώντας 2 σημεία ουσιαστικά) τότε μπορούμε να κάνουμε μια εκτίμηση για τον ρυθμό μεταβολης ακριβώς στο σημείο ο οποίος είναι ο στιγμιαίος.Δηλαδή θεωρητικά ο στιγμιαίος ρυθμός είναι ακριβώς η τιμή στο $x_{0}$ την οποία εκτιμήσαμε με την βοήθεια του ορίου και όχι το όριο.Ισχύει κάτι τέτοιο?Ελπίζω να κατάφερα να κατάφερα να γίνω κατανοητός!

#2

Δεν υπάρχει κάποια (μαθηματική) αντίφαση στον όρο "στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής" για το $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
Δεν χρειάζεται να μπερδεύουμε έννοιες που είναι μαθηματικά ξεκάθαρες.
Έτσι
1) δεν έχει νόημα να μιλάμε για ρυθμό μεταβολής αν περιοριστούμε σε ένα και μόνο σημείο x_0

. Εκεί έχουμε -αν υπάρχει- απλώς την τιμή f(x_0)

.
2) για τα δυο σημεία

και

υπάρχει ο απλός ρυθμός μεταβολής $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
3) Ερχόμαστε στην έννοια του ορίου: Όριο σημαίνει οσοδήποτε κοντά. Τόσο κοντά, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για συμπεριφορά σε ένα σημείο, το x_0

και όχι σε δυο σημεία, το x_0

και το

. Ο ρυθμός μεταβολής στο σημείο x_0

δίνεται με την χρήση του ορίου, και το όριο εμπεριέχει την έννοια της συμπεριφοράς σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του x_0

. Υπάρχει ειδοποιός διαφορά μεταξύ του $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ και του $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
4) Υπάρχει πάντοτε και το θέμα του τι συμφωνούμε στα μαθηματικά. Αυτό που απαιτείται -και αρκεί- είναι αυτό στο οποίο συμφωνούμε, να είναι μαθηματικά ξεκάθαρο.

Jim P · #3

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:52 am
Δεν χρειάζεται να μπερδεύουμε έννοιες που είναι μαθηματικά ξεκάθαρες.

Γειά σας και πάλι κ.Κωστάκο!Ευχαριστώ για την γρήγορη απάντηση.Έχετε δίκιο αλλά όταν δεν καταλαβαίνω σε ικανοποιητικό βάθος κάτι δεν μου αρέσει απλά να το επαναλαμβάνω μηχανικά.Δε προσπαθώ να δείξω ότι κάτι από όσα είναι μαθηματικά γνωστά δεν ισχύει απλά σας έδωσα το σκεπτικό μου για να σας βοηθήσω να εντοπίσεται που είναι το λάθος στον συλλογισμό μου.

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:52 am
1) δεν έχει νόημα να μιλάμε για ρυθμό μεταβολής αν περιοριστούμε σε ένα και μόνο σημείο . Εκεί έχουμε -αν υπάρχει- απλώς την τιμή .

Κατανοητό αλλά αν είναι έτσι πως μπορούμε στην συνέχεια και μιλάμε για εφαπτομένη σε 1 σημείο?

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:52 am
3) Ερχόμαστε στην έννοια του ορίου: Όριο σημαίνει οσοδήποτε κοντά. Τόσο κοντά, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για συμπεριφορά σε ένα σημείο, το και όχι σε δυο σημεία, το και το . Ο ρυθμός μεταβολής στο σημείο δίνεται με την χρήση του ορίου, και το όριο εμπεριέχει την έννοια της συμπεριφοράς σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του . Υπάρχει ειδοποιός διαφορά μεταξύ του $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ και του $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .

Όταν λέμε οσοδήποτε κοντά όμως εννοούμε ότι το

είναι οσοδήποτε κοντά στο x_0

αλλά δεν γίνεται ποτέ ίσο με το x_0

έτσι δεν είναι?Επομένως ουσιαστικά δεν μιλάμε για 2 σημεία?

#4

Jim P έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 2:18 pm

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:52 am
1) δεν έχει νόημα να μιλάμε για ρυθμό μεταβολής αν περιοριστούμε σε ένα και μόνο σημείο . Εκεί έχουμε -αν υπάρχει- απλώς την τιμή .
Κατανοητό αλλά αν είναι έτσι πως μπορούμε στην συνέχεια και μιλάμε για εφαπτομένη σε 1 σημείο?

Υπάρχει διαφορά μεταξύ της εφαπτομένης ευθείας σε ένα σημείο (x_0,f(x_0))

της γραφικής παράστασης της

και στον ρυθμό μεταβολής (ή παράγωγο) f'(x_0)

της

. Η εφαπτομένη ευθεία -άσχετα αν η κλίση της ισούται με f'(x_0)

- δεν εμπεριέχει την έννοια του ορίου, ενώ η f'(x_0)

το εμπεριέχει. (π.χ. την εφαπτομένη σε μια καμπύλη μπορούμε να την χαράξουμε κατασκευαστικά. )

Jim P έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 2:18 pm

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:52 am
3) Ερχόμαστε στην έννοια του ορίου: Όριο σημαίνει οσοδήποτε κοντά. Τόσο κοντά, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για συμπεριφορά σε ένα σημείο, το και όχι σε δυο σημεία, το και το . Ο ρυθμός μεταβολής στο σημείο δίνεται με την χρήση του ορίου, και το όριο εμπεριέχει την έννοια της συμπεριφοράς σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του . Υπάρχει ειδοποιός διαφορά μεταξύ του $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ και του $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
Όταν λέμε οσοδήποτε κοντά όμως εννοούμε ότι το είναι οσοδήποτε κοντά στο αλλά δεν γίνεται ποτέ ίσο με το έτσι δεν είναι? Επομένως ουσιαστικά δεν μιλάμε για 2 σημεία?

Η ουσία εδώ δεν είναι ότι έχουμε δυο σημεία

και

και δεν έχουμε μόνο ένα (άλλωστε έγραψα για "συμπεριφορά σε ένα σημείο"), αλλά η έννοια του ορίου $x\to x_0$ . Χωρίς την έννοια του ορίου δεν μπορούμε να "αντιμετωπίσουμε" το συνεχές του $\mathbb{R}$ . Αυτό το "

τείνει στο x_0

" είναι αυθύπαρκτη (μαθηματική) έννοια.

Jim P · #5

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 3:24 pm
Υπάρχει διαφορά μεταξύ της εφαπτομένης ευθείας σε ένα σημείο της γραφικής παράστασης της και στον ρυθμό μεταβολής (ή παράγωγο) της . Η εφαπτομένη ευθεία -άσχετα αν η κλίση της ισούται με - δεν εμπεριέχει την έννοια του ορίου, ενώ η το εμπεριέχει. (π.χ. την εφαπτομένη σε μια καμπύλη μπορούμε να την χαράξουμε κατασκευαστικά. )

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 3:24 pm
Η ουσία εδώ δεν είναι ότι έχουμε δυο σημεία και και δεν έχουμε μόνο ένα (άλλωστε έγραψα για "συμπεριφορά σε ένα σημείο"), αλλά η έννοια του ορίου $x\to x_0$ . Χωρίς την έννοια του ορίου δεν μπορούμε να "αντιμετωπίσουμε" το συνεχές του $\mathbb{R}$ . Αυτό το " τείνει στο " είναι αυθύπαρκτη (μαθηματική) έννοια.

Καλημέρα και πάλι, άργησα να απαντήσω γιατί διάβαζα προσπαθώντας να καταλάβω όσο καλύτερα μπορώ το θέμα.Ακόμα δυστυχώς έχω δυσκολία να "αγκαλιάσω" την λογική στο επιθυμητό βάθος:
1)Όταν μιλάμε για ρυθμό μεταβολής σε σημείο, μιλάμε για ρυθμο μεταβολής στην περιοχή του σημείου και όχι πάνω στο σημείο καθώς αυτό δεν έχει νόημα?
2)Σχετικά με τον συντελεστή εφαπτομένης σε σημείο, θέλουμε 2 σημεία για να τον υπολογίσουμε στο οποίο μας βοηθάει το όριο, με το οποίο παίρνουμε ένα σημείο τόσο κοντά που μπορούμε με ακρίβεια να εκτιμήσουμε την τιμή ακριβώς στο σημείο, παρά το ότι δεν έχει νόημα(ως μεταβολη ακριβώς σε σημείο).Δηλαδή το σκεπτικό είναι ότι δεν μπορούμε μεν να βάλουμε το $x=x_{0}$ στον τύπο του συντελεστή διευθυνσης $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ,αλλά αν μπορούσαμε το αποτέλεσμα θα περιμέναμε να είναι η τιμή του ορίου που βρήκαμε.
Είναι ουσιαστικά σαν ένα τέχνασμα?

Πραγματικά ελπίζω να μην σας κουράζω αλλά έχω απογοητευτεί γιατί δεν μπορώ να εντοπίσω τι ακριβώς μπερδεύω πάνω στο θέμα.

Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση