Σωστή χρήση ισοδυναμίας

Jim P · #1

Καλησπέρα στο forum.Είμαι 3ο έτος στο πολυτεχνείο και με τα χρόνια μου έχει δημιουργηθεί μια απορία σχετικά με την χρήση ισοδυναμιών. Βλέπω συνεχώς δαιφορετική χρήση σε συγκεκριμένα πράγματα και θα ήθελα επιτέλους να ξέρω με σιγουριά τι είναι σωστό και τι όχι.Έχω βρεί διάφορες πληροφορίες, εντός και εκτός forum (έχω ακούσει και διαφορετικά πράγματα από καθηγητές μου)αλλά πολυ αποσπασματικά με αποτέλεσμα να έχουν μείνει κάποιες απορίες.Θα προσπαθήσω να είμαι όσο πιο συγκεκριμένος γίνεται ώστε να διευκολύνω όποιον κάνει τον κόπο να απαντήσει.Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής :

1)Διαφορικές Εξισώσεις.
Γνωρίζω ότι στις εξισώσεις είναι απαραίτητη η χρήση ισοδυναμιών.Περιλαμβάνονται και οι διαφορικές εξισώσεις?Δηλαδή:
Για $y\neq 0$ :

${y}'=2xy^{2}\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2xy^{2}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow\int \frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\int 2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow-\frac{1}{y}=x^{2} + C\Leftrightarrow y= -\frac{1}{x^{2}+C} ,C \in \mathbb{R}$
Είναι σωστός αυτός ο τρόπος γραφής?Και αν ναί,είναι απαραίτητος ή μας καλύπτει και μια σκέτη συνεπαγωγή?(χωρίς επαλήθευση στο τέλος)

2)Παραγώγιση - Ολοκλήρωση (γενικά)
Όταν παραγωγίζουμε χάνεται η ισοδυναμία.Αντίθετα όταν ολοκληρώνουμε η ισοδυναμία παραμένει.Σωστό ή λάθος?

3)Συστήματα.
Για παράδειγμα η μέθοδος της αντικατάστασης:
$\left\{\begin{matrix} x-2y=6 & \\ 3x+4y=8& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+6 & \\ y=-1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=-1& \end{matrix}\right.$

Γράφοντας έτσι εξασφαλίζουμε ότι οι τιμές που θα βρούμε επαληθέυουν το αρχικό σύστημα γιατί προχωράμε με ισοδυναμίες.
Αν λοιπόν γράψουμε την επίλυση του συστήματος ακριβώς με τον παρακάτω τρόπο:
$\left\{\begin{matrix} x-2y=6 & \\ 3x+4y=8& \end{matrix}\right.$

$x-2y=6\Leftrightarrow x=6+2y (1)$

$3(2y+6)+4y=8\Leftrightarrow 6y+18+4y=8\Leftrightarrow 10y=-10\Leftrightarrow y=-1(2)$

Από (2)

: $(1)\Leftrightarrow x=2(-1)+6\Leftrightarrow x=4$

Είμαστε το ίδιο σωστοί?Ουσιαστικά λύνουμε το σύστημα των (1) και (2),που είναι ισοδύναμες με τις αρχικές, αλλά ουσιαστικά δε φαίνεται απο κάπου ότι το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με το αρχικό.Είναι ελλιπής αυτός ο τρόπος γραφής?

Πραγματικά θα με βοηθήσει πάρα πολύ να ξεκαθαρίσω αυτά τα πράγματα στο μυαλό μου γιατί θέλω πραγματικά να ξέρω τι γράφω και να μην δουλεύω μηχανικά.Πολλοί στο forum πιστέυω ότι μπορούν να μου λύσουν αυτες τις απορίες μέσα σε 3 λεπτά!Συγγνώμη αν οι απορίες μου φανούν χαζές και ευχαριστώ όποιον είχε την υπομονή να τις διαβάσει.Καλό απόγευμα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Jim P έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 23, 2018 6:59 pm
Καλησπέρα στο forum.Είμαι 3ο έτος στο πολυτεχνείο και με τα χρόνια μου έχει δημιουργηθεί μια απορία σχετικά με την χρήση ισοδυναμιών. Βλέπω συνεχώς δαιφορετική χρήση σε συγκεκριμένα πράγματα και θα ήθελα επιτέλους να ξέρω με σιγουριά τι είναι σωστό και τι όχι.Έχω βρεί διάφορες πληροφορίες, εντός και εκτός forum (έχω ακούσει και διαφορετικά πράγματα από καθηγητές μου)αλλά πολυ αποσπασματικά με αποτέλεσμα να έχουν μείνει κάποιες απορίες.Θα προσπαθήσω να είμαι όσο πιο συγκεκριμένος γίνεται ώστε να διευκολύνω όποιον κάνει τον κόπο να απαντήσει.Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής :

1)Διαφορικές Εξισώσεις.
Γνωρίζω ότι στις εξισώσεις είναι απαραίτητη η χρήση ισοδυναμιών.Περιλαμβάνονται και οι διαφορικές εξισώσεις?Δηλαδή:
${y}'=2xy^{2}\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2xy^{2}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow\int \frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\int 2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow-\frac{1}{y}=x^{2} + C\Leftrightarrow y= -\frac{1}{x^{2}+C} ,C \in \mathbb{R}$
Είναι σωστός αυτός ο τρόπος γραφής?Και αν ναί,είναι απαραίτητος ή μας καλύπτει και μια σκέτη συνεπαγωγή?(χωρίς επαλήθευση στο τέλος)

2)Παραγώγιση - Ολοκλήρωση (γενικά)
Όταν παραγωγίζουμε χάνεται η ισοδυναμία.Αντίθετα όταν ολοκληρώνουμε η ισοδυναμία παραμένει.Σωστό ή λάθος?

3)Συστήματα.
Για παράδειγμα η μέθοδος της αντικατάστασης:
$\left\{\begin{matrix} x-2y=6 & \\ 3x+4y=8& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+6 & \\ y=-1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=-1& \end{matrix}\right.$

Γράφοντας έτσι εξασφαλίζουμε ότι οι τιμές που θα βρούμε επαληθέυουν το αρχικό σύστημα γιατί προχωράμε με ισοδυναμίες.
Αν λοιπόν γράψουμε την επίλυση του συστήματος ακριβώς με τον παρακάτω τρόπο:
$\left\{\begin{matrix} x-2y=6 & \\ 3x+4y=8& \end{matrix}\right.$

$x-2y=6\Leftrightarrow x=6+2y (1)$

$3(2y+6)+4y=8\Leftrightarrow 6y+18+4y=8\Leftrightarrow 10y=-10\Leftrightarrow y=-1(2)$

Από : $(1)\Leftrightarrow x=2(-1)+6\Leftrightarrow x=4$

Είμαστε το ίδιο σωστοί?Ουσιαστικά λύνουμε το σύστημα των (1) και (2),που είναι ισοδύναμες με τις αρχικές, αλλά ουσιαστικά δε φαίνεται απο κάπου ότι το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με το αρχικό.Είναι ελλιπής αυτός ο τρόπος γραφής?

Πραγματικά θα με βοηθήσει πάρα πολύ να ξεκαθαρίσω αυτά τα πράγματα στο μυαλό μου γιατί θέλω πραγματικά να ξέρω τι γράφω και να μην δουλεύω μηχανικά.Πολλοί στο forum πιστέυω ότι μπορούν να μου λύσουν αυτες τις απορίες μέσα σε 3 λεπτά!Συγγνώμη αν οι απορίες μου φανούν χαζές και ευχαριστώ όποιον είχε την υπομονή να τις διαβάσει.Καλό απόγευμα!

Η απάντηση είναι απλή.
Στα κανονικά Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο $\Leftrightarrow$
(εξαιρείται η Λογική και η Θεωρία Συνόλων)
Εγω τουλάχιστον δεν το βλέπω στα βιβλία εκτός ελαχίστων περιπτώσεων σε πολύ απλά πράγματα.
(για να καταλαβαινόμαστε όχι σε σχολικά βιβλία)
Ο λόγος είναι ότι για να χρησιμοποιηθεί σωστά είναι πολύ πολύπλοκο και μη αναγκαίο.

Προφανώς το παρακάτω έχει πολλά λάθη.

${y}'=2xy^{2}\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2xy^{2}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow\int \frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\int 2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow-\frac{1}{y}=x^{2} + C\Leftrightarrow y= -\frac{1}{x^{2}+C} ,C \in \mathbb{R}$

π.χ η y(x)=0

ικανοποιεί την πρώτη αλλά όχι την τελευταία.

Jim P · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 23, 2018 9:02 pm
Η απάντηση είναι απλή.
Στα κανονικά Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο $\Leftrightarrow$
(εξαιρείται η Λογική και η Θεωρία Συνόλων)
Εγω τουλάχιστον δεν το βλέπω στα βιβλία εκτός ελαχίστων περιπτώσεων σε πολύ απλά πράγματα.
(για να καταλαβαινόμαστε όχι σε σχολικά βιβλία)
Ο λόγος είναι ότι για να χρησιμοποιηθεί σωστά είναι πολύ πολύπλοκο και μη αναγκαίο.

Προφανώς το παρακάτω έχει πολλά λάθη.

${y}'=2xy^{2}\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2xy^{2}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow\int \frac{\mathrm{d} y}{y^{2}}=\int 2x{\mathrm{d} x}\Leftrightarrow-\frac{1}{y}=x^{2} + C\Leftrightarrow y= -\frac{1}{x^{2}+C} ,C \in \mathbb{R}$

π.χ η ικανοποιεί την πρώτη αλλά όχι την τελευταία.

Πρόσθεσα τον περιορισμό $y\neq 0$ τον οποίο είχα ξεχάσει.Κάποια άλλα λάθη δεν νομίζω να έχω καθώς αντέγραψα την λύση από το σχολικό της Γ Λυκείου.Δεν περίμενα τέτοιου είδους απάντηση .Δυστυχώς δεν νομίζω ότι με βοηθάει.Αντίθετα με μπερδεύει και λίγο παραπάνω.Ευχαριστώ για την απάντηση και το ενδιαφέρον σας.

Σωστή χρήση ισοδυναμίας

Σωστή χρήση ισοδυναμίας

Re: Σωστή χρήση ισοδυναμίας

Re: Σωστή χρήση ισοδυναμίας

Μέλη σε σύνδεση