Μη σύγκλιση πολυωνύμων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων

$(p_{n}(z))_{n\in \mathbb{N}}$

τέτοια ώστε $p_{n}(z)\rightarrow \frac{1}{z}$ ομοιόμορφα

στο σύνολο $\left \{ z:\left | z \right |=r \right \}$
όπου r> 0

#2

Ας υποθέσουμε πως υπάρχει τέτοια ακολουθία. Επειδή η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο συμπαγές σύνολο $C_r = \{z \in \mathbb{C}:|z| = r\}$ τότε έχουμε

$\displaystyle{ 0 = \lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} \int_{C_r} p_n(z) \, \mathrm{d}z = \int_{C_r} \lim_{n \to \infty} p_n(z) \, \mathrm{d}z = \int_{C_r} \frac{1}{z} \, \mathrm{d}z = 2\pi i,}$

άτοπο.

[Η δεύτερη και η τελευταία ισότητα έπονται από γνωστά θεωρήματα που φέρουν το όνομα του Cauchy.]

Μη σύγκλιση πολυωνύμων

Μη σύγκλιση πολυωνύμων

Re: Μη σύγκλιση πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση