mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 25, 2014 10:02 pm**

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{27}\right)^n\left(\begin{matrix}3n \\ n \end{matrix}\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 26, 2014 6:21 pm**

Σ. Διονύσης έγραψε:Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{27}\right)^n\left(\begin{matrix}3n \\ n \end{matrix}\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$

Η σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3n} \\ n \\ \end{array} } \right){{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{\left( {2n} \right)!n!}}{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}} }$ συγκλίνει διότι αν $\displaystyle{{a_n} = \frac{{\left( {3n} \right)!}}{{\left( {2n} \right)!n!}}{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)^n}}$ έχουμε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n + 3} \right)!\left( {2n} \right)!n!}}{{\left( {3n} \right)!\left( {2n + 2} \right)!\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{2}{{27}} = \frac{2}{{27}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n + 3} \right)\left( {3n + 2} \right)\left( {3n + 1} \right)}}{{\left( {2n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{27}}{4} \cdot \frac{2}{{27}} = \frac{1}{2} < 1}$

και σύμφωνα με το οριακό κριτήριο λόγων D’Alembert η σειρά συγκλίνει.

Η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = \frac{{{{\left( {1 + z} \right)}^n}}}{{{z^{k + 1}}}}}$ είναι μερόμορφη στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ με πόλο $\displaystyle{k + 1}$ τάξης τον $\displaystyle{{z_o} = 0}$ και

$\displaystyle{Res\left( {f\left( z \right),z = 0} \right) = \frac{1}{{k!}}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\left( {{z^{k + 1}} \cdot f\left( z \right)} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{1}{{k!}}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\left( {{{\left( {1 + z} \right)}^n}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right) \cdot .. \cdot \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right)}$ .

Άρα $\displaystyle{2\pi i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3n} \\ n \\ \end{array} } \right) = \int\limits_c {\frac{{{{\left( {1 + z} \right)}^{3n}}}}{{{z^{n + 1}}}}dz} }$ , όπου $\displaystyle{c:}$ οποιαδήποτε περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Η Γεωμετρική σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}\frac{{{{\left( {1 + z} \right)}^{3n}}}}{{{z^{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{z}{{\left( {\frac{{2{{\left( {1 + z} \right)}^3}}}{{27z}}} \right)}^n}} }$ συγκλίνει αν $\displaystyle{\left| {\frac{{2{{\left( {1 + z} \right)}^3}}}{{27z}}} \right| < 1}$ . Η τιμή $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ μας “βολεύει”.

Τότε για $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ έχουμε $\displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}\frac{{{{\left( {1 + z} \right)}^{3n}}}}{{{z^{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{z}{{\left( {\frac{{2{{\left( {1 + z} \right)}^3}}}{{27z}}} \right)}^n}} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{{2{{\left( {1 + z} \right)}^3}}}{{27z}}}} = .. = \frac{{ - 27}}{{\left( {z - 2} \right)\left( {2{z^2} + 10z - 1} \right)}}}$ .

Επομένως $\displaystyle{2\pi i\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3n} \\ n \\ \end{array} } \right)} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}\int\limits_{\left| z \right| = 1} {\frac{{{{\left( {1 + z} \right)}^{3n}}}}{{{z^{n + 1}}}}dz} } = \int\limits_{\left| z \right| = 1} {\frac{{ - 27}}{{\left( {z - 2} \right)\left( {2{z^2} + 10z - 1} \right)}}dz} }$ .

Η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = \frac{{ - 27}}{{\left( {z - 2} \right)\left( {2{z^2} + 10z - 1} \right)}}}$ έχει απλούς πόλους τους $\displaystyle{{z_1} = 2}$ , $\displaystyle{{z_2} = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 3 }}{2}}$ και $\displaystyle{{z_3} = \frac{{ - 5 - 3\sqrt 3 }}{2}}$ ,

εκ των οποίων μόνον ο $\displaystyle{{z_2} = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 3 }}{2}}$ βρίσκεται στον μοναδιαίο δίσκο.

Επομένως $\displaystyle{\int\limits_{\left| z \right| = 1} {\frac{1}{{\left( {z - 2} \right)\left( {2{z^2} + 10z - 1} \right)}}dz} = 2\pi i \cdot Res\left( {f\left( z \right),z = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\pi i \cdot \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}$ και τελικά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)}^n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3n} \\ n \\ \end{array} } \right)} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 26, 2014 11:53 pm**

mathematica.gr

Σειρά

Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά