Ένα μικρό παράδοξο

MANOLISMATHS · #1

Το μελετάω εδώ και αρκετή ώρα και δεν βρίσκω που είναι το λάθος

Θέλω να υπολογίσω το εξής ολοκλήρωμα

$\displaystyle\iint _D dxdy$ όπου

η περιοχή που έχει ως σύνορο τις καμπύλες

$c_1=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2|4x^2+9y^2=36\}$ με φορά ανάποδα του ρολογιού
$c_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2=1\}$ με φορά του ρολογιού

Ε είναι προφανές ότι ζητούμε το εμβαδόν του

.Και αυτό δεν είναι παρα
$E(D)=\pi\cdot a\cdot b-\pi\cdot R^2 \ \ \ a=2.b=3.R=1$

Προσπάθησα όμως για να κάνω εξάσκηση στις πολικές να το υπολογίσω κανονικά
όποτε είπα ότι το χωρίο

είναι ισοδύναμο με το

$\Omega=\{(r,\theta):\theta\in[0,2\pi] \ \ \, 1 \leq r \leq\displaystyle \frac{6}{\sqrt{4+5sin^2\theta}} \}$

και έτσι το ζητούμε ολοκλήρωμα δεν είναι άλλο
παρά
το
$E(D)=E(\Omega)=\dispalystyle\frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{36}{4+5\sin^2\theta}-1 d\theta$
Αυτό πρέπει να είναι ίσο κατα τα γνωστά απο την Στοιχειώδη Γεωμετρία με $E(D)=5\pi$

Όμως όταν πήγα να βγάλω την παράγουσα μου βγήκε
$6Arctan(\displaystyle\frac{3}{2}tan(\theta))-\theta$

Άρα $E(D)=\frac{1}{2}\left [ 6Arctan(\displaystyle\frac{3}{2}tan(\theta))-\theta \right ]_{0}^{2\pi}$

και αυτό δεν μου δίνει αυτό που ψαχνω γιατί?

Ελπίζω να μην έγινα κουραστικός..
και αν κάποιος ήθελε να μου πει αν είναι ενταξει η γραφή με την LaTeX

θα ήταν ευπρόσδεκτο αφού δεν εχω ξαναχρησιμοποιήσει αυτούς τους όρους

#2

Μανόλη, όλα σωστά μέχρι την στιγμή που βρίσκεις την αντιπαράγωγο. Η αντιπαράγωγος πρέπει να είναι συνεχής. Αυτό που βρήκες δεν ορίζεται καν στα $\pi/2,3\pi/2$ κ.τ.λ.

(Αυτό που βρήκες είναι σωστό αν το περιορίσεις στο διάστημα $(0,\pi/2)$ αλλά όχι στο $(0,2\pi)$ που μας ενδιαφέρει.)

Ένα μικρό παράδοξο

Ένα μικρό παράδοξο

Re: Ένα μικρό παράδοξο

Μέλη σε σύνδεση