mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 19, 2011 11:05 am**

Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία συνάρτηση με την ιδιότητα

$\left|f(x)-f(y)\right|\le \frac {1}{3}\left|x-y\right|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ , να εξεταστεί αν υπάρχει θετικός

ακέραιος

, τέτοιος ώστε $f^n(x)+f^{n-1}(x)+...+f(x)+1\le nx, \forall x \in \mathbb{R}$

( $f^2=f\circ f,...,f^n=f^{n-1} \circ f$ )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 19, 2011 7:22 pm**

Η συνάρτηση

είναι συστολή, άρα από το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach, υπάρχει μοναδικό $\xi\in\mathbb{R}$ ώστε $f(\xi)=\xi.$

Είναι $f^2(\xi) = f(f(\xi)) = f(\xi) = \xi.$ Επαγωγικά έχουμε $f^n(\xi)=\xi.$

Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος ώστε να ισχύει η δοθείσα σχέση.
Τότε για $x=\xi$ έχουμε:

$f^n(\xi)+f^{n-1}(\xi)+...+f(\xi)+1 \leq n\xi \Rightarrow n\xi + 1 \leq n\xi \Rightarrow 1 \leq 0,$ αδύνατο.

Άρα δεν υπάρχει θετικός ακέραιος

ώστε να ισχύει η σχέση.

mathematica.gr

Υπάρχει n;

Υπάρχει n;

Re: Υπάρχει n;