Μονότονη συνάρτηση

peter · #1

Έστω $f:\mathbb R \to \mathbb R$ συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση $G:\mathbb R^2\to \mathbb R$ ώστε f(x+y)=G(f(x),f(y))

για κάθε $x,y\in \mathbb R$ . Αποδείξτε ότι η

είναι γνησίως μονότονη.

#2

peter έγραψε:Έστω $f:\mathbb R \to \mathbb R$ συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση $G:\mathbb R^2\to \mathbb R$ ώστε για κάθε $x,y\in \mathbb R$ . Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως μονότονη.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η

είναι 1-1. Έστω ότι αληθεύει το αντίθετο.

Άρα υπάρχουν $a, b \in \mathbb{R}$ (χωρίς βλάβη a<b

) ώστε

.

Εδώ πρέπει να χρησιμοποίησουμε ένα γνωστο λήμμα, σύμφωνα με το οποίο αν η

είναι συνεχής, μη σταθερή και f(a)=f(b)

, τότε το γράφημα της

έχει στο διάστημα [a,b]

οσοδήποτε μικρές θέλουμε οριζόντιες χορδές, δηλαδή για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχουν

$x_1,x_2 \in [a,b]$ με $\displaystyle{0<x_2-x_1<\varepsilon \wedge f(x_1)=f(x_2)}$ , άρα

$\displaystyle{f(x+x_2-x_1)=G(f(x-x_1),f(x_2))=G(f(x-x_1),f(x_1))=f(x-x_1+x_1)=f(x)}$ , άρα η

είναι περιοδική, χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.

Και επειδή είναι και συνεχής, άρα είναι σταθερή, αντίφαση.

Μονότονη συνάρτηση

Μονότονη συνάρτηση

Re: Μονότονη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση