Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Dimessi · #81

Άσκηση 28 Τηλέμαχε $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left ( 1+\frac{k}{n} \right )^{4}\rightarrow \int \limits_{0}^{1}\left ( 1+x \right )^{4}dx=\int \limits_{0}^{1}\left ( \sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k} x^{k} \right )dx=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}\int \limits_{0}^{1}x^{k}dx=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}\frac{1}{k+1}$

ksofsa · #82

Δημήτρη, πλήρης η λύση σου.

Απλά να αναφέρω ότι, εναλλακτικά, μπορούμε, αντί για το διωνυμικό ανάπτυγμα, να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής και να γράψουμε:

$\int_{0}^{1}(1+x)^4dx=\int_{1}^{2}y^4dy=\left [\dfrac{y^5}{5} \right ]_{1}^{2}=\dfrac{31}{5}$ .

Dimessi · #83

Έπεσα με τα μούτρα στο βυθό Κώστα

Το

απλά φώναζε Νewton

#84

Άσκηση 28 (μέρος β)
.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 01, 2025 2:26 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } \frac{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{4}+\left( 1+\frac{2}{n} \right)^{4}+...+\left( 1+\frac{n}{n} \right)^{4} }{n}$

.

Ο σωστός τρόπος να λυθεί η άσκηση είναι βέβαια με αθροίσματα Riemann, όπως άλλωστε έγινε και όπως δηλώνει ο φάκελος.

Με την ευκαιρία και χάριν ποικιλίας, προσκαλώ τους αναγνώστες να γράψουν λύση χωρίς χρήση ολοκληρώματος: Επιτρέπονται μόνο ακολουθίες και τα όριά τους. Αν χρησιμοποιήσετε κάποιο όριο το οποίο μπορεί να μην είναι γνωστό σε έναν πρωτάρη, ας πείτε και μία μικρή αιτιολόγιση.

ksofsa · #85

Με επαγωγή αποδεικνύεται ο γνωστός τύπος:

$1^4+2^4+...+n^4=\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ .

Το όριο γράφεται:

$\lim_{n \to \infty } \dfrac{(n+1)^4+(n+2)^4+...+(2n)^4}{n^5}=\lim_{n \to \infty } (\dfrac{1^4+2^4+...+(2n)^4}{n^5}-\dfrac{1^4+2^4+...+n^4}{n^5})=$

$=\lim_{n \to \infty } (\dfrac{2n(2n+1)(4n+1)(12n^2+6n-1)}{30n^5}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30n^5})=\dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}=$

$=\dfrac{31}{5}$ .

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση