Κατὰ σημεῖον σύγκλιση ἐνδέχεται νὰ συνεπάγεται καὶ ὁμοιόμορφη σύγκλιση!

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset C[a,b]$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 7:02 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset C[a,b]$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση.
Θα έπρεπε να είναι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset X$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Εστω $g_{i}(x):i=1,2,..,k$
μια βάση του

Θα είναι $f_{n}(x)=\sum_{i=1}^{k}a_{i}(n)g_i(x)$
Χρειαζόμαστε το εξής:
Υπάρχουν x_j,j=1,2,...k

στο

ώστε $det(g_i(x_j))\neq 0$
(απόδειξη στο τέλος)
Θεωρώντας τις σχέσεις
$f_{n}(x_j)=\sum_{i=1}^{k}a_{i}(n)g_i(x_j)$
σαν γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα $a_{i}(n)$ για σταθερό

παίρνουμε ότι για i=1,2,...k

$a_{i}(n)\rightarrow a_i$
Ετσι
$f_{n}(x)-\sum_{i=1}^{k}a_{i}g_i(x)=\sum_{i=1}^{k}(a_{i}(n)-a_i)g_i(x)$
που εύκολα μας δίνει την ομοιόμορφη σύγκλιση.
(αυτό που χρειαζόμαστε είναι ότι τα $sup \left \{ |g_i(x)|:x\in [a,b] \right \}$
είναι πεπερασμένα)

Απόδειξη αυτού που αφήσαμε.
Για k=2

παίρνουμε

ώστε $g_1(x_1)\neq 0$
Aν g_1(x_1)g_2(x)-g_1(x)g_2(x_1)=0

για όλα τα $x\in [a,b]$ εχουμε άτοπο λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας.
Αρα υπάρχει x_2

με
$g_1(x_1)g_2(x_2)-g_1(x_2)g_2(x_1)\neq 0$
Αρα ισχύει για k=2

.
Εστω ότι ισχύει για

Σχηματίζουμε τον πίνακα που η τελευταία γραμμή είναι τα f_i(x)

για

και οι άλλες f_i(x_j)

για

και

Αν η ορίζουσα του πίνακα είναι

για όλα τα $x\in [a,b]$ εχουμε άτοπο λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας.
Αρα υπάρχει $x_{k+1}$
ώστε να μην την μηδενίζει.

Κατὰ σημεῖον σύγκλιση ἐνδέχεται νὰ συνεπάγεται καὶ ὁμοιόμορφη σύγκλιση!

Κατὰ σημεῖον σύγκλιση ἐνδέχεται νὰ συνεπάγεται καὶ ὁμοιόμορφη σύγκλιση!

Re: Κατὰ σημεῖον σύγκλιση ἐνδέχεται νὰ συνεπάγεται καὶ ὁμοιόμορφη σύγκλιση!

Μέλη σε σύνδεση