Υπάρχει ακολουθία;

peter · #1

Εξετάστε αν υπάρχει ακολουθία (x_n)

πραγματικών αριθμών, η οποία να ικανοποιεί τις ακόλουθες δυο ιδιότητες:

(α) $|x_n|\leq 0.666$ για κάθε $n\in \mathbb N$ και

(β) $|x_n-x_m|\geq \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{m(m+1)}$ για κάθε $n\neq m$ .

#2

Όχι, δεν υπάρχει. Για κάθε

ορίζουμε

το διάστημα μήκους 2/n(n+1)

με κέντρο το x_n

. Από την συνθήκη (β) παρατηρούμε ότι τα I_n

πρέπει να είναι ξένα μεταξύ τους. Από την συνθήκη (α) και αφού $|I_1|/2 \leqslant 1/2$ και $|I_n|/2 \leqslant 1/6$ για $n \geqslant 2$ παρατηρούμε ότι τα I_n

περιέχονται είτε στο διάστημα [-0.666-1/2,0.666+1/6]

είτε στο διάστημα [-0.666-1/6,0.666+1/2]

.

Επομένως $\sum |I_n| < 4/3 + 1/6 + 1/2 = 2$ . Αλλά $\displaystyle{\sum |I_n| = 2\sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 2,}$ άτοπο.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=133892&

Υπάρχει ακολουθία;

Υπάρχει ακολουθία;

Re: Υπάρχει ακολουθία;

Re: Υπάρχει ακολουθία;

Μέλη σε σύνδεση