Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

#1

Δίδεται ο μιγαδικός
z = k(a + bi) - ai

, με

πραγματική παράμετρος και για τους πραγματικούς a,b

ισχύει : ${a^2} + {b^2} + 5 = 2a{i^{2012}} - b{(1 + i)^4}$ .
Αν $|z| \geqslant 1$ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(z)

καθώς και η ελάχιστη τιμή του |z|

.

Νίκος

gian7 · #2

Doloros έγραψε:Δίδεται ο μιγαδικός
, με πραγματική παράμετρος και για τους πραγματικούς ισχύει : ${a^2} + {b^2} + 5 = 2a{i^{2012}} - b{(1 + i)^4}$ .
Αν $|z| \geqslant 1$ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων καθώς και η ελάχιστη τιμή του .

Νίκος

Μια προσπάθεια:
Είναι $\displaystyle{z= ka + kbi - ai \Leftrightarrow z = ka + (kb - a)i}$
Για την δεύτερη δοσμένη σχέση έχω:
$\displaystyle{i^{2012} = i^{4 \cdot503 + 0} = i^0 = 1}$
$\displaystyle{(1 + i)^4 = [(1+i)^2]^2 = [1 + 2i - 1]^2 = 4i^2 = -4}$
Άρα $\displaystyle{a^2 + b^2 + 5 = 2a + 4b \Leftrightarrow (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 4b + 4)= 0\Leftrightarrow (a - 1)^2 + (b-2)^2 = 0 \Leftrightarrow a=1 \kappa b=2}$
Άρα $\displaystyle{z = k + ( 2k - 1)i}$ . Θέτω $\displaystyle{ \left.\begin{matrix} { x = k& \\ y = 2k - 1& \end{matrix}\right\}y = 2x - 1 }$ .
Άρα ο $\displaystyle{z}$ γράφετε $\displaystyle{z = x + (2x - 1)i}$
Όμως το μέτρο του $\displaystyle{z}$ πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο της μονάδας $\displaystyle{\sqrt{ x^2 + (2x - 1)^2} \geq1 \Leftrightarrow x^2 + 4x^2 - 4x + 1 \geq1\Leftrightarrow 5x^2 - 4x \geq 0 \Leftrightarrow x(5x - 4)\geq 0 \Leftrightarrow x\epsilon ( -\infty , 0]U[4/5, +\infty)}$
Τελικά ο γ.τ της εικόνας του $\displaystyle{z}$ είναι η ευθεία $\displaystyle{ (e):y = 2x - 1}$ με $\displaystyle{x\epsilon ( -\infty , 0]U[4/5, +\infty)}$

Aφού $\displaystyle{|z| \geq 1}$ , το ελάχιστο μέτρο του θα είναι η μονάδα

#3

Ευχαριστώ που διέθεσες, από τον πολύτιμο χρόνο σου, ώρα για την λύση της άσκησης.
Η λύση σου σωστή και πλήρης.
Καλή επιτυχία στις Γενικές εξετάσεις.

Φιλικά Νίκος

nick41 · #4

Για να είναι η λύση πλήρης δεν πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει μιγαδικός που ανήκει στον τόπο αυτό και το μέτρο του είναι ίσο με τη μονάδα ; Σε αντίθετη περίπτωση η σχέση μπορεί να ισχύει μόνο με το > .

Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

Re: Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

Re: Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

Re: Μιγαδικοί (μέχρι 25/10/2012)

Μέλη σε σύνδεση