Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Λάμπρος Μπαλός · #1

Για μαθητές της Γ, μέχρι την Κυριακή 18-11-2018

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν :

$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}$ , για κάποιο $a \in R$ και

$f^{2}(x)=x(2f(x)+1)+1$ , για κάθε $x \in R$ .

Να αποδείξετε ότι :

i. f(a)=a+1

ii. $f(x)= \sqrt{x^{2}+x+1}+x$ , για κάθε $x \in R$ .

iii. a=-1

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ξεχασμένη.
Καιρός να λυθεί.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 21, 2019 11:02 pm
Ξεχασμένη.
Καιρός να λυθεί.

Ας λυθεί.

Α. Από συνέχεια έχουμε

$f(a)-a-1=\lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x-1 \right )= \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)-x-1}{x^2-a^2}(x^2-a^2)=\dfrac{1}{4}\cdot 0=0$

B. $f^{2}(x)=x(2f(x)+1)+1\Leftrightarrow \left ( f(x)-x ^\right )^2=x^2+x+1\Leftrightarrow \left | f(x)-x \right |=\sqrt{x^2+x+1}>0$

για κάθε

Από συνέχεια η f(x)-x

διατηρεί πρόσημο. Από το δοσμένο όριο παίρνουμε

$\lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x-1 \right )=0\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a} \left (f(x)-x \right )=1$ και

επομένως f(x)-x>0

για κάθε

. Άρα

$\left | f(x)-x \right |=\sqrt{x^2+x+1}\Rightarrow f(x)-x =\sqrt{x^2+x+1}\Rightarrow f(x)=\sqrt{x^2+x+1}+x$ .

Γ. $f(a)=a+1\Leftrightarrow a+1=\sqrt{a^2+a+1}+a\Leftrightarrow 1=\sqrt{a^2+a+1}\Leftrightarrow a=0$
ή a=-1

.

Η

απορρίπτεται γιατί στο δοσμένο όριο τα πλευρικά βγαίνουν $\pm \infty .$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν :

$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}$ , για κάποιο $a \in R$ και

Να αποδείξετε ότι :

Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για x=a

μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα f(a)=a+1

Τι βαθμό θα του βάζατε;

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Σπίρτο ο/η μαθητής/τρια. 20/20

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2019 12:46 am

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν :

$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}$ , για κάποιο $a \in R$ και

Να αποδείξετε ότι :

Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα

Τι βαθμό θα του βάζατε;

Σταύρο,

αυτό είναι ένα κομμάτι που αρκετοί δε το δέχονται όπως το λες. Προσωπικά το κάνω και έτσι αλλά έχω συναντήσει ενστάσεις.

Τσιαλας Νικολαος · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2019 8:28 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2019 12:46 am

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:12 am

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν :

$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-x-1}{x^{2}-a^{2}}= \frac{1}{4}$ , για κάποιο $a \in R$ και

Να αποδείξετε ότι :

Εχω μια απορία.

Αν στο παραπάνω ένας μαθητής έγραφε

Αφου ο παρανομαστής για μηδενίζεται και η συνάρτηση στον αριθμητή είναι συνεχής και το
όριο πεπερασμένο , θα πρέπει και αυτή να μηδενίζεται.
Αρα

Τι βαθμό θα του βάζατε;

Σταύρο,

αυτό είναι ένα κομμάτι που αρκετοί δε το δέχονται όπως το λες. Προσωπικά το κάνω και έτσι αλλά έχω συναντήσει ενστάσεις.

+1 στον Αποστόλη. Με τον κύριο Σταύρο τα έχουμε πει και σε πμ... Οτιδήποτε "ξεφεύγει" από τα τετριμμένα ενέχει κινδύνους

Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Re: Θέμα Γ (Όρια - Συνέχεια)

Μέλη σε σύνδεση