Διαφορι-κούλα 93

mathxl · #1

Να βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \to R$ , όταν $f\left( 1 \right) = 0=f(-1)$ και για κάθε $x \in R$ ικανοποιεί την
$3{x^2}f\left( x \right) + 2x{f^3}\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right) = 0$ .

μέχρι 17-2-2013

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nick41 · #2

Επαναφορά γιατί την παλεύω από χθες αλλά δεν μπόρεσα να τη λύσω

BAGGP93 · #3

Καλησπέρα και από μένα με μια σκέψη που έκανα..

Λύση

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=0\,,x\in\mathbb{R}}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις και συνεπώς

αποτελεί μια λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης.

Έστω τώρα $\displaystyle{f}$ μια μη μηδενική λύση της διαφορικής εξίσωσης με τις δοσμένες συνθήκες.Τότε,

$\displaystyle{f\neq 0\Rightarrow \exists\,x_0\in\mathbb{R}:f(x_0)\neq 0}$ .

Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{f(x_0)>0}$

Επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x=x_0}$ , έπεται ότι υπάρχει $\displaystyle{\delta>0}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x)>0\ \forall x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ .

Προφανώς, $\displaystyle{-1,1\notin\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\,\,(I)}$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} 3x^2\,f(x)+2x\,f^3(x)-2x^3\,f^\prime(x)=0&\Leftrightarrow 3x^2\,\left(f(x)\right)^{-2}+2x-2x^3\,f^\prime(x)\,\left(f(x)\right)^{-3}=0\,\,(II)\end{aligned}}$

Λόγω της σχέσης $\displaystyle{(I)}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(-\infty,-1\right)}$

ή

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(-1,1\right)}$

ή

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(1,+\infty\right)}$

Θέτουμε $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{f^2(x)}\,,x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$

Για την πρώτη ή την τρίτη περίπτωση, έχουμε από την $\displaystyle{(II)}$ ότι,

$\displaystyle{\begin{aligned}x^3\,g^\prime(x)+3x^2g(x)+2x=0&\Leftrightarrow \frac{d}{dx}\left(x^3\,g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\\&\Leftrightarrow \exists\,c\in\mathbb{R}:x^3\,g(x)=c-x^2\\&\Leftrightarrow g(x)=\frac{c-x^2}{x^3}\\&\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{c-x^2}}\end{aligned}}$

Στην δεύτερη περίπτωση, αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{0\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=0}$ , άτοπο.

Από εδώ και κάτω, έχω κολλήσει.

nick41 · #4

BAGGP93 έγραψε:Καλησπέρα και από μένα με μια σκέψη που έκανα..

Λύση

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=0\,,x\in\mathbb{R}}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις και συνεπώς

αποτελεί μια λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης.

Έστω τώρα $\displaystyle{f}$ μια μη μηδενική λύση της διαφορικής εξίσωσης με τις δοσμένες συνθήκες.Τότε,

$\displaystyle{f\neq 0\Rightarrow \exists\,x_0\in\mathbb{R}:f(x_0)\neq 0}$ .

Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{f(x_0)>0}$

Επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x=x_0}$ , έπεται ότι υπάρχει $\displaystyle{\delta>0}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x)>0\ \forall x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ .

Προφανώς, $\displaystyle{-1,1\notin\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\,\,(I)}$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} 3x^2\,f(x)+2x\,f^3(x)-2x^3\,f^\prime(x)=0&\Leftrightarrow 3x^2\,\left(f(x)\right)^{-2}+2x-2x^3\,f^\prime(x)\,\left(f(x)\right)^{-3}=0\,\,(II)\end{aligned}}$

Λόγω της σχέσης $\displaystyle{(I)}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(-\infty,-1\right)}$

ή

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(-1,1\right)}$

ή

$\displaystyle{\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\subset\left(1,+\infty\right)}$

Θέτουμε $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{f^2(x)}\,,x\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$

Για την πρώτη ή την τρίτη περίπτωση, έχουμε από την $\displaystyle{(II)}$ ότι,

$\displaystyle{\begin{aligned}x^3\,g^\prime(x)+3x^2g(x)+2x=0&\Leftrightarrow \frac{d}{dx}\left(x^3\,g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)\\&\Leftrightarrow \exists\,c\in\mathbb{R}:x^3\,g(x)=c-x^2\\&\Leftrightarrow g(x)=\frac{c-x^2}{x^3}\\&\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{c-x^2}}\end{aligned}}$

Στην δεύτερη περίπτωση, αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{0\in\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=0}$ , άτοπο.

Από εδώ και κάτω, έχω κολλήσει.

Και εγώ σ' αυτό το σημείο κόλλησα και χωρίς απαγωγή σε άτοπο που προσπάθησα να πάω μετά δεν βρήκα τίποτα...

Βασιλειος · #5

$3x^{2}f(x)+2x(f(x))^{3}-2x^{3}f'(x)=0$ : (1) Για $x\neq 0$ έχουμε (1) $\Leftrightarrow f'(x)-\frac{3x^{2}+2x(f(x))^{2}}{2x^{3}}f(x)=0$
Για x>0

έχουμε : $(f(x)e^{-\int_{1}^{x}{\frac{3t^{2}+2t(f(t))^{2}}{2t^{3}}}dt})'=0$
$\Rightarrow f(x)e^{-\int_{1}^{x}{\frac{3t^{2}+2t(f(t))^{2}}{2t^{3}}}dt}=c$
Για x=1

έχουμε : $f(1)e^{-\int_{1}^{1}{\frac{3t^{2}+2t(f(t))^{2}}{2t^{3}}}dt}=c\Rightarrow c=0$
Οπότε $f(x)=0 \forall x>0$ όμοια και για x<0

απλώς το ολοκλήρωμα θα είναι από

έως

και βάζοντας όπου

το

θα προκύψει πάλι $c_{1}=0$ άρα f(x)=0

για

.
Συνοψίζοντας έχουμε $f(x)=0 \forall x\neq 0$ .Όμως η

είναι συνεχής στο 0 θα ισχύει
$\lim_{x->0^{+}}f(x)=\lim_{x->0^{-}}f(x)=0=\lim_{x->0}f(x)=f(0)$ επομένως $f(x)=0 \forall x\in R$ .

mathxl · #6

Ναι Βασίλη πολύ σωστά

.

Διαφορι-κούλα 93

Διαφορι-κούλα 93

Re: Διαφορι-κούλα 93

Re: Διαφορι-κούλα 93

Re: Διαφορι-κούλα 93

Re: Διαφορι-κούλα 93

Re: Διαφορι-κούλα 93

Μέλη σε σύνδεση