mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am**

Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:41 am**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για $x=\frac{1}{2}$ , που βέβαια ανήκει στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ , η παράσταση ισούται με

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2019 11:05 am**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Αν θέσουμε
$f(x)={\frac{\log (1-x)}{\log x}}$
τότε το
$f((\frac{1}{3},\frac{2}{3}))$
είναι διάστημα αφού η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.
Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο.
Το διάστημα έχει υπεραριθμήσιμο το πλήθος στοιχεία.
Ετσι υπάρχουν αριθμήσιμο το πλήθος αριθμοί αυτής της μορφής που είναι αλγεβρικοί
και υπεραριθμήσιμοι
το πλήθος αριθμοί αυτής της μορφής που είναι υπερβατικοί.

συμπλήρωμα
Προφανώς η απάντηση μου στο αρχικό ερώτημα είναι λάθος.Είναι σωστή αν θεωρήσουμε
$x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2019 7:20 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:41 am
Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για $x=\frac{1}{2}$ , που βέβαια ανήκει στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ , η παράσταση ισούται με .

Τόλη, δεν έχεις απαντήσει στην ένστασή μου. Κάποια διόρθωση πρέπει να γίνει. Ας γίνει πρώτα, και μετά θα αρχίσουμε να κοιτάμε την άσκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2019 11:15 am**

Την άσκηση τη βρήκα σε αυτή τη μορφή της. Θα τη ξανά δω και θα επανέλθω.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2019 2:42 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Δίνω λύση έτσι και αλλιώς, εν αναμονή της απάντησης του Τόλη: Δείχνω το ζητούμενο κάνοντας πρώτα την διόρθωση ότι ισχύει εκτός αν $x=\frac {1}{2}$ . Επίσης δεν βλέπω τι χρειάζεται η υπόθεση ότι εργαζόμαστε στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ δεδομένου ότι ισχύει το ζητούμενο γενικότερα, χωρίς αλλαγή στον συλλογισμό, για $x\in \left( 0, 1 \right) \cap \mathbb{Q}$ (αλλά $x\ne \frac {1}{2}$ ).

Θέτοντας y=1-x

η δοθείσα γίνεται $\displaystyle{\frac{\log y}{\log (1-y)}}$ . Τώρα, αφού ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν και μόνον αν είναι υπερβατικός ο αντίστροφός του, μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x\in \left ( \frac{1}{2}, 1 \right ) \cap \mathbb{Q}$ γιατί τότε $y\in \left ( 0, \frac{1}{2} \right ) \cap \mathbb{Q}$ .

Θα δείξουμε πρώτα ότι ο αριθμός $\displaystyle{c = \frac{\log (1-x)}{\log x}} \,(*)$ είναι άρρητος, όπου $x\in \left ( \frac{1}{2}, 1 \right ) \cap \mathbb{Q}$ . Γράφουμε $x=\frac {p}{q}$ όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο.

Έστω

ρητός. Αφού 1-x<x

είναι

οπότε για κάποια m,n

με

είναι $c=\frac {m}{n}$ . H (*)

γράφεται $\displaystyle{1-x= x^c= x^{m/n} \, (**)}$ ή αλλιώς $\displaystyle{ 1-\frac {p}{q} = \left ( \frac {p}{q} \right ) ^ {m/n}}$ , δηλαδή $\displaystyle{(q-p)^n=p^mq^{n-m}}$ . Άρα

διαιρεί τον (q-p)^n