Υπερβατικός πάνω από το Q

Tolaso J Kos · #1

Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για $x=\frac{1}{2}$ , που βέβαια ανήκει στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ , η παράσταση ισούται με

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Αν θέσουμε
$f(x)={\frac{\log (1-x)}{\log x}}$
τότε το
$f((\frac{1}{3},\frac{2}{3}))$
είναι διάστημα αφού η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.
Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο.
Το διάστημα έχει υπεραριθμήσιμο το πλήθος στοιχεία.
Ετσι υπάρχουν αριθμήσιμο το πλήθος αριθμοί αυτής της μορφής που είναι αλγεβρικοί
και υπεραριθμήσιμοι
το πλήθος αριθμοί αυτής της μορφής που είναι υπερβατικοί.

συμπλήρωμα
Προφανώς η απάντηση μου στο αρχικό ερώτημα είναι λάθος.Είναι σωστή αν θεωρήσουμε
$x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)$

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:41 am
Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για $x=\frac{1}{2}$ , που βέβαια ανήκει στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ , η παράσταση ισούται με .

Τόλη, δεν έχεις απαντήσει στην ένστασή μου. Κάποια διόρθωση πρέπει να γίνει. Ας γίνει πρώτα, και μετά θα αρχίσουμε να κοιτάμε την άσκηση.

Tolaso J Kos · #5

Την άσκηση τη βρήκα σε αυτή τη μορφή της. Θα τη ξανά δω και θα επανέλθω.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:39 am
Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Δίνω λύση έτσι και αλλιώς, εν αναμονή της απάντησης του Τόλη: Δείχνω το ζητούμενο κάνοντας πρώτα την διόρθωση ότι ισχύει εκτός αν $x=\frac {1}{2}$ . Επίσης δεν βλέπω τι χρειάζεται η υπόθεση ότι εργαζόμαστε στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$ δεδομένου ότι ισχύει το ζητούμενο γενικότερα, χωρίς αλλαγή στον συλλογισμό, για $x\in \left( 0, 1 \right) \cap \mathbb{Q}$ (αλλά $x\ne \frac {1}{2}$ ).

Θέτοντας y=1-x

η δοθείσα γίνεται $\displaystyle{\frac{\log y}{\log (1-y)}}$ . Τώρα, αφού ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν και μόνον αν είναι υπερβατικός ο αντίστροφός του, μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x\in \left ( \frac{1}{2}, 1 \right ) \cap \mathbb{Q}$ γιατί τότε $y\in \left ( 0, \frac{1}{2} \right ) \cap \mathbb{Q}$ .

Θα δείξουμε πρώτα ότι ο αριθμός $\displaystyle{c = \frac{\log (1-x)}{\log x}} \,(*)$ είναι άρρητος, όπου $x\in \left ( \frac{1}{2}, 1 \right ) \cap \mathbb{Q}$ . Γράφουμε $x=\frac {p}{q}$ όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο.

Έστω

ρητός. Αφού 1-x<x

είναι

οπότε για κάποια m,n

με

είναι $c=\frac {m}{n}$ . H (*)

γράφεται $\displaystyle{1-x= x^c= x^{m/n} \, (**)}$ ή αλλιώς $\displaystyle{ 1-\frac {p}{q} = \left ( \frac {p}{q} \right ) ^ {m/n}}$ , δηλαδή $\displaystyle{(q-p)^n=p^mq^{n-m}}$ . Άρα

διαιρεί τον (q-p)^n

, και άρα τον p^n

, οπότε τον

. Άτοπο.

Έχουμε λοιπόν ότι

άρρητος. Έστω ότι ήταν αλγεβρικός. Σχεδόν τελειώσαμε, πάλι με άτοπο: Από την (**)

έχουμε $x^c\in \mathbb Q$ . 'Ομως το Θεώρημα Gelfond (βλέπε εδώ) που λέει ότι αν $x\ne 0, x\ne 1$ αλγεβρικός (όπως εδώ) και

άρρητος αλγεβρικός, όπως εδώ, τότε ο x^c

είναι υπερβατικός, έχουμε άτοπο.

Τελικά

υπερβατικός.

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:15 am
Την άσκηση τη βρήκα σε αυτή τη μορφή της. Θα τη ξανά δω και θα επανέλθω.

Τόλη, κανένα νέο εδώ;

Ο κατασκευαστής της άσκησης προτείνει λύση; Ποια;

Υπερβατικός πάνω από το Q

Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Re: Υπερβατικός πάνω από το Q

Μέλη σε σύνδεση