ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $I_{i},i=1,2,...9$

με $I_{1}=[0,1],I_{2}=[0,1),I_{3}=(0,1],I_{4}=(0,1)$ και

$I_{5}=(-\infty ,0),I_{6}=(-\infty ,0],I_{7}=(0, \infty ),I_{8}=[0, \infty ),I_{9}=\mathbb{R}$

Για κάθε i=2,3,...9

και

να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση

$f_{ij}:I_{i}\rightarrow I_{j}$

με $f_{ij}(I_{i})=I_{j}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $I_{i},i=1,2,...9$

με $I_{1}=[0,1],I_{2}=[0,1),I_{3}=(0,1],I_{4}=(0,1)$ και

$I_{5}=(-\infty ,0),I_{6}=(-\infty ,0],I_{7}=(0, \infty ),I_{8}=[0, \infty ),I_{9}=\mathbb{R}$

Για κάθε και να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση

$f_{ij}:I_{i}\rightarrow I_{j}$

με $f_{ij}(I_{i})=I_{j}$

Ενδιαφέρουσα,αλλά πολύ εκτενής. Κάνω μία αρχή:

1. Από το $\displaystyle{I_2}$ δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στα $\displaystyle{I_4, I_5, I_7, I_9}$ , γιατί το $\displaystyle{(0,1)}$ είναι συνεκτικό, ενώ το

$\displaystyle{I_i\setminus f(0)}$ δεν είναι για $\displaystyle{i=4,5,7,9}$ .

2. Ομοίως δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση από το $\displaystyle{I_3}$ στα $\displaystyle{I_4, I_5, I_7, I_9}$ .

3. Έχουμε $\displaystyle{f_{23} (x)=1-x, f_{26}(x)=\frac {1}{x-1}+1, f_{28}(x)=\frac {1}{1-x}-1, f_{32}(x)=1-x, f_{36}(x)=- \frac {1}{x}+1}$

και $\displaystyle{f_{38} (x)=\frac {1}{x}-1}$

#3

Δεύτερος γύρος:

$\displaystyle{f_{41}(x)=-x+ \frac {1}{3}, 0<x \le \frac {1}{3}}$
$\displaystyle{f_{41}(x)=3x-1,\frac {1}{3} \le x \le \frac {2}{3}}$
$\displaystyle{f_{41}(x)=-3x+3, \frac {2}{3} \le x <1}$ .

$\displaystyle{f_{42}(x)=2x, 0<x \le \frac {1}{2}}$

$\displaystyle{f_{42}(x)=-2x+2, \frac {1}{2} \le x <1}$

$\displaystyle{f_{45}(x)=-tan \frac {\pi x}{2}}$

$\displaystyle{f_{47}(x)=-f_{45}(x)}$

$\displaystyle{f_{46}(x)=-x+\frac {1}{2}, 0<x \le \frac {1}{2}}$

$\displaystyle{f_{46}(x)=ln(2-2x), \frac {1}{2} \le x <1}$

$\displaystyle{f_{48}(x)=-f_{46}(x)}$

$\displaystyle{f_{49}(x)=tan \left(\pi x-\frac {\pi}{2} \right)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

s.kap έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $I_{i},i=1,2,...9$

με $I_{1}=[0,1],I_{2}=[0,1),I_{3}=(0,1],I_{4}=(0,1)$ και

$I_{5}=(-\infty ,0),I_{6}=(-\infty ,0],I_{7}=(0, \infty ),I_{8}=[0, \infty ),I_{9}=\mathbb{R}$

Για κάθε και να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση

$f_{ij}:I_{i}\rightarrow I_{j}$

με $f_{ij}(I_{i})=I_{j}$
Ενδιαφέρουσα,αλλά πολύ εκτενής. Κάνω μία αρχή:

1. Από το $\displaystyle{I_2}$ δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στα $\displaystyle{I_4, I_5, I_7, I_9}$ , γιατί το $\displaystyle{[0,1)}$ είναι συνεκτικό, ενώ το

$\displaystyle{I_i\setminus f(0)}$ δεν είναι για $\displaystyle{i=4,5,7,9}$ .

2. Ομοίως δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση από το $\displaystyle{I_3}$ στα $\displaystyle{I_4, I_5, I_7, I_9}$ .

3. Έχουμε $\displaystyle{f_{23} (x)=1-x, f_{26}(x)=\frac {1}{x-1}+1, f_{28}(x)=\frac {1}{1-x}-1, f_{32}(x)=1-x, f_{36}(x)=- \frac {1}{x}+1}$

και $\displaystyle{f_{38} (x)=\frac {1}{x}-1}$

Αν δεν κάνω λάθος υπάρχουν όλες.

π.χ $f_{24}(x)=\frac{1}{2}x\sin \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}$

#5

Τρίτος γύρος (οι εύκολες):

$\displaystyle{f_{94}(x)=\frac {e^x}{1+e^x}}$ ,

$\displaystyle{f_{49}=f_{94}^{-1}}$

$\displaystyle{f_{68}(x)=f_{86}(x)=-x}$

$\displaystyle{f_{98}(x)=\left|x\right|}$

$\displaystyle{f_{89}(x)=-f_{98}(x)}$

$\displaystyle{f_{97}(x)=e^x}$

$\displaystyle{f_{95}(x)=-e^x}$

#6

Σπύρο, μπορείς να γλιτώσεις αρκετές πράξεις αν πεις:

$f_{28} = f_{38} \circ f_{23}$

κ.τ.λ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Δίνω την λύση που είχα κατά νου.

$f_{i1}(x)=\frac{1}{2}\sin 100x+\frac{1}{2}$

για i=2,3,...,9

Για τα άλλα παίρνοντας τις

$f_{23}(x)=1-x$

$f_{34}(x)=\frac{1}{2}x\sin \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}$

$f_{45}(x)=-\tan \frac{\pi }{2}x$

$f_{56}(x)=-\left | x\sin x \right |$

$f_{67}(x)=e^{x\sin x}$

$f_{78}(x)=\left | x\sin x \right |$

$f_{89}(x)=x\sin x$

$f_{92}(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$

και συνθέσεις αυτών τις έχουμε όλες.

π.χ $f_{25}=f_{45}of_{34}of_{23}$

Φυσικά υπάρχου και άλλες.Ο Σπύρος έγραψε μερικές

ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Re: ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση