Η συνάρτηση arccos

prwtonio · #1

Έστω η εξίσωση cosx=a

με

. Αν $x\in \left ( -\pi /2,\pi /2 \right )$ τότε η λύση της είναι $x=\pm arccosa$ ; Με συγχωρείτε αν είναι πολύ απλό.

#2

prwtonio έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:48 am
Έστω η εξίσωση με . Αν $x\in \left ( -\pi /2,\pi /2 \right )$ τότε η λύση της είναι $x=\pm arccosa$ ; Με συγχωρείτε αν είναι πολύ απλό.

Καλημέρα...
Απλά έπρεπε να σημειώσεις τη λύση ως εξής:

$\displaystyle{x= \pm Arccosa }$

Δηλαδή με κεφαλαίο το αρχικό γράμμα της λέξης $\displaystyle{arccosa}$
για να δηλώνεται ότι πρόκειται για την πρωταρχική λύση της
τριγωνομετρικής αυτής εξίσωσης. Με μικρό γράμμα δηλώνεται
η οποιαδήποτε λύση από τις άπειρες που υπάρχουν, όπως
φαίνεται και στο σχήμα:

: Τριγωνομετρική λύση 1.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 1800 φορές

Οι άπειρες λύσεις είναι τόξα που ξεκινάν από την αρχή $\displaystyle{A}$
του τριγωνομετρικού κύκλου και καταλήγουν (με φορά θετική ή
αρνητική) αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,M'}$ . Εσύ όμως ζητάς
εκείνες που ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ .
Αυτές είναι η πρωταρχική και η αντίθετή της.

Κώστας Δόρτσιος

prwtonio · #3

Ευχαριστώ πολύ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 10:32 am

prwtonio έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:48 am
Έστω η εξίσωση με . Αν $x\in \left ( -\pi /2,\pi /2 \right )$ τότε η λύση της είναι $x=\pm arccosa$ ; Με συγχωρείτε αν είναι πολύ απλό.
Καλημέρα...
Απλά έπρεπε να σημειώσεις τη λύση ως εξής:

$\displaystyle{x= \pm Arccosa }$

Δηλαδή με κεφαλαίο το αρχικό γράμμα της λέξης $\displaystyle{arccosa}$
για να δηλώνεται ότι πρόκειται για την πρωταρχική λύση της
τριγωνομετρικής αυτής εξίσωσης. Με μικρό γράμμα δηλώνεται
η οποιαδήποτε λύση από τις άπειρες που υπάρχουν, όπως
φαίνεται και στο σχήμα:

Τριγωνομετρική λύση 1.png

Οι άπειρες λύσεις είναι τόξα που ξεκινάν από την αρχή $\displaystyle{A}$
του τριγωνομετρικού κύκλου και καταλήγουν (με φορά θετική ή
αρνητική) αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,M'}$ . Εσύ όμως ζητάς
εκείνες που ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ .
Αυτές είναι η πρωταρχική και η αντίθετή της.

Κώστας Δόρτσιος

Δεν νομίζω να χρησιμοποιείται πλέον ο συμβολισμός Arccos

Βλέπε Spivak σελ 262

καθώς και

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE ... E%B9%CF%82

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 11:15 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 10:32 am

prwtonio έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:48 am
Έστω η εξίσωση με . Αν $x\in \left ( -\pi /2,\pi /2 \right )$ τότε η λύση της είναι $x=\pm arccosa$ ; Με συγχωρείτε αν είναι πολύ απλό.
Καλημέρα...
Απλά έπρεπε να σημειώσεις τη λύση ως εξής:

$\displaystyle{x= \pm Arccosa }$

Δηλαδή με κεφαλαίο το αρχικό γράμμα της λέξης $\displaystyle{arccosa}$
για να δηλώνεται ότι πρόκειται για την πρωταρχική λύση της
τριγωνομετρικής αυτής εξίσωσης. Με μικρό γράμμα δηλώνεται
η οποιαδήποτε λύση από τις άπειρες που υπάρχουν, όπως
φαίνεται και στο σχήμα:

Τριγωνομετρική λύση 1.png

Οι άπειρες λύσεις είναι τόξα που ξεκινάν από την αρχή $\displaystyle{A}$
του τριγωνομετρικού κύκλου και καταλήγουν (με φορά θετική ή
αρνητική) αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,M'}$ . Εσύ όμως ζητάς
εκείνες που ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ .
Αυτές είναι η πρωταρχική και η αντίθετή της.

Κώστας Δόρτσιος

Δεν νομίζω να χρησιμοποιείται πλέον ο συμβολισμός

Βλέπε Spivak σελ 262

καθώς και

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE ... E%B9%CF%82

Καλησπέρα από τα Γρεβενά, ..., που όλη μέρα χιονίζει,..., στην πόλη που ζω, ..., και στα ορεινά χωριά λένε
ότι έφτασε τους ογδόντα πόντους,..., έτσι μου είπε ένας φίλος από το χωριό Περιβόλι!
Πάντως τώρα που σιγά - σιγά νυχτώνει το χιόνι γίνεται πυκνότερο..., κι εγώ το παρατηρώ
από το παράθυρο που είναι δίπλα στον υπολογιστή!

Στο θέμα μας:

Ναι στο βιβλίο του Spivak και στη σελίδα 262 του κεφαλαίου "Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις", αναφέρεται μεταξύ άλλων
και στις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συμβολίζοντας αυτές με μικρό το αρχικό τους γράμμα. Το ίδιο αναφέρεται
και στη wikipedia αγλλική ή ελληνική.

Η προσωπική μου παρατήρηση είναι ότι στις περιπτώσεις αυτές δεν αναφέρονται οι υπόλοιπες αντίστροφες τριγωνομετρικές
συναρτήσεις με πεδία ορισμού όπως για παράδειγμα, διαστήματα της μορφής:

$\displaystyle{\Delta_k=[k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}],\ \ k \in Z}$

Έτσι λοιπόν για να διακρίνουμε τις μεν από τις δε, χρησιμοποιείται και σήμερα (όπως μετά από μικρή
αναζήτηση που έκανα με το google.fr), έννοια της λεγόμενης "πρωτεύουσας τιμής"(εγώ την είπα "πρωταρχική" στο
αρχικό μου μήνυμα, λάθος μου), η οποία σημειώνεται με κεφαλαίο το αρχικό της γράμμα( ή με $\displaystyle{arccos_o}$
σχετίζοντας αυτή με εκείνες που ορίζονται στο διάστημα $\displaystyle{\Delta_k}$ που συμβολίζονται με $\displaystyle{arccos_k}$ ) .

Σήμερα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση δε διδάσκονται τα θέματα αυτά. Όμως παλαιότερα, στα
τμήματα της λεγόμενης θετικής κατεύθυνσης (Πρακτικά τμήματα με οχτώ ώρες μαθηματικών από
την τετάρτη Γυμνασίου, μέχρι και την έκτη γυμνασίου), διδάσκονταν. Μάλιστα στην έκτη τάξη η τριγωνομετρία
είχε θέματα αυτού του είδους και έφτανε, από ότι θυμάμαι ως καθηγητής τότε που έκανα μάθημα
σε τέτοια τμήματα, μέχρι την επίλυση τετραπλεύρου.

Το θέμα για το οποίο μιλάμε μπορεί κανείς να το βρει στο βιβλίο της εποχής εκείνης με πολύ
αναλυτικό τρόπο. Είναι η "Τριγωνομετρία του Ε. Παπατριανταφύλλου."
Το βιβλίο αυτό το έχω στη βιβλιοθήκη μου, αλλά το βρήκα και στην πλούσια
συλλογή σε ψηφιακή μορφή στην ιστοσελίδα του φίλου μου Τάκη Χρονόπουλου(Παρμενίδη) και το
αναρτώ. Εκεί στις σελίδες 49-60 αξίζει κανείς να ψάξει για το θέμα αυτό.
Βρίσκεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... d3OGc/view

Επίσης στους ακόλουθους συνδέσμους γίνεται αναφορά στο θέμα αυτό:

https://melusine.eu.org/syracuse/immae/ ... exe/12.pdf
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Damie ... arccos.pdf

Κώστας Δόρτσιος

Η συνάρτηση arccos

Η συνάρτηση arccos

Re: Η συνάρτηση arccos

Re: Η συνάρτηση arccos

Re: Η συνάρτηση arccos

Re: Η συνάρτηση arccos

Μέλη σε σύνδεση