mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 29, 2015 8:25 pm**

Αν και η επαγωγή πλέον δε διδάσκεται στα σχολεία, ας δούμε ένα κλασικό παράδοξο. Νομίζω δεν έχει συζητηθεί ξανά στο

.

Θεώρημα:

Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Απόδειξη:

Η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά.

$\displaystyle{\bullet}$ Αποδεικνύουμε τον ισχυρισμό για $\displaystyle{n=1.}$ Αν έχουμε μόνο ένα άλογο, προφανώς όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

$\displaystyle{\bullet}$ Θεωρούμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει για $\displaystyle{n}$ άλογα και θα αποδείξουμε ότι ισχύει για $\displaystyle{n+1}$ άλογα.

Από τα $\displaystyle{n+1}$ άλογα που θεωρούμε, κρατάμε στην άκρη το (ας το πούμε) τελευταίο και κοιτάμε τα πρώτα $\displaystyle{n}$ άλογα. Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης αυτά έχουν το ίδιο χρώμα.

Από τα $\displaystyle{n+1}$ άλογα που θεωρούμε, κρατάμε στην άκρη το (ας το πούμε) πρώτο και κοιτάμε τα τελευταία $\displaystyle{n}$ άλογα. Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης και αυτά έχουν το ίδιο χρώμα.

Άρα και τα $\displaystyle{n+1}$ άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Το επαγωγικό βήμα αποδείχθηκε.

Επομένως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα!

$\displaystyle{\rule{200pt}{2pt}}$

Πού βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 29, 2015 9:10 pm**

Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα. Θα πρέπει να αποδειχθεί για n=2

και όχι για n=1

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 29, 2015 9:20 pm**

Το επαγωγικό επιχείρημα στηρίζεται στο γεγονός ότι άμα έχουμε δύο σύνολα M_1, M_2

με

αντικείμενα, ώστε $|M_1 \cup M_2| = n+1$ , τότε $M_1 \cap M_2 \neq \emptyset$ . Αυτό το επιχείρημα όμως ισχύει για $n \geq 2$ και όχι για n=1

. Κατ'επέκταση δεν ισχύει το επαγωγικό βήμα $1 \to 2$ και άρα δε μπορούμε να συνεχίσουμε με την επαγωγή.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 29, 2015 9:54 pm**

Αντώνης Πάπαρης έγραψε:Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα. Θα πρέπει να αποδειχθεί για n=2 και όχι για n=1

Δηλαδή αν είχες μόνο ένα άλογο δεν πρέπει να ερευνήσεις αν αυτό ισχύει?

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 30, 2015 8:03 am**

Προφανώς στην "απόδειξη " της ιδιότητας που κάνεις δεν ισχύει το βασικό αξίωμα των φυσικών ότι κάθεφυσικός αριθμός έχει επόμενο. Δηλαδή η ιδιότητα που εξετάζεις και όπως κάνεις την απόδειξη ν->ν+1 έχει πρόβλημα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 30, 2015 9:04 am**

Θάνο, έκανες πολύ καλά και το έθεσες .Είναι εξαιρετικό παράδειγμα. Ανάλογα ''αποδεικνύουμε '' ότι όλα τα κορίτσια έχουν πράσινα μάτια κλπ Δείτε και εδώ :

viewtopic.php?f=67&t=6943&p=39308&hilit ... %AE#p39308

Μερικές φορές νοιώθω τέλεια απογοήτευση, όταν σκέφτομαι ότι οι μαθητές μας τελειώνουν το Λύκειο, κάνουν χιλιάδες ασκήσεις στη συνάρτηση ολοκλήρωμα ή

στα υπαρξιακά θεωρήματα και δεν έχουν ακούσει ούτε μια λέξη για την επαγωγική μέθοδο !

Το πρόγραμμα σπουδών θέλει σημαντικές παρεμβάσεις και συμπηρώσεις.

Καλή συνέχεια στις διακοπές σας !

mathematica.gr

Κατανόηση της επαγωγής!

Κατανόηση της επαγωγής!

Re: Κατανόηση της επαγωγής!

Re: Κατανόηση της επαγωγής!

Re: Κατανόηση της επαγωγής!

Re: Κατανόηση της επαγωγής!

Re: Κατανόηση της επαγωγής!