Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#1

Με κάποια καθυστέρηση αναρτώ και τα θέματα του Γυμνασίου.

Henri van Aubel · #2

ΘΕΜΑ 3 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
Βρίσκουμε ότι είναι 16,32,64,96,192

από κάθε χρώμα αντίστοιχα (μαύρες, πράσινες ,κόκκινες, άσπρες, γαλάζιες). Συνεπώς για να μην τύχουν πενήντα ίδιου χρώματος, μπορούμε να πάρουμε όλες τις μαύρες και τις πράσινες και σαράντα εννέα από κάθε άλλο χρώμα. Στη συνέχεια, αν πάρουμε άλλη μία, τότε σίγουρα θα συμπληρώσουμε τις πενήντα ίδιου χρώματος. Τότε θα πάρουμε συνολικά 196

μπάλες.

Πράγματι, αν πάρουμε 196,

τότε είναι σίγουρα πενήντα ίδιου χρώματος. Έστω προς άτοπο ότι δεν είναι πενήντα ίδιου χρώματος. Τότε θα είναι το πολύ σαράντα εννέα ίδιου χρώματος, άρα θα έχουμε πάρει το πολύ $16+32+3\times 49=195$ μπάλες, αυτό όμως είναι άτοπο, εφόσον έχουμε πάρει 196

μπάλες.

Δείτε το κι έτσι: Αν δεν είναι πενήντα ίδιου χρώματος, τότε είναι το πολύ σαράντα εννέα ίδιου χρώματος. Άρα θα έχουμε πάρει το πολύ $16+32+3\times 49=195$ μπάλες. Άρα για να συμπληρώσουμε τις πενήντα μπάλες, πρέπει να πάρουμε τουλάχιστον 196

μπάλες.

#3

Γ Γυμνασίου Π.3

: Κύπρος Γ-3 2022.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

α) $\displaystyle A\widehat DE = A\widehat ED = 60^\circ$ άρα το ADE

είναι ισόπλευρο, οπότε $\displaystyle B\widehat AD = E\widehat AC = 30^\circ = D\widehat BA = E\widehat CA$

Επομένως, το ABC

είναι ισοσκελές.

β) Φέρνω το ύψος

και θέτω $\displaystyle DM = x \Leftrightarrow AD = 2x.$ Με Πυθαγόρειο στο ADM

είναι:

$\displaystyle 4{x^2} = {x^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow$ $\boxed{AD=DE=AE=4}$ και η περίμετρος του ADE

είναι

Πυθαγόρειο στο AΒM,

$\displaystyle A{B^2} = 36 + 12 = 48 \Leftrightarrow AB = AC = 4\sqrt 3$ και η περίμετρος του ABC

είναι

$4(2\sqrt 3+3).$ Επομένως, $\boxed{\frac{{{\Pi _{ABC}}}}{{{\Pi _{ADE}}}} = \frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}}$

Henri van Aubel · #4

ΘΕΜΑ 1 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
Για να ορίζοντες οι ρίζες, θα πρέπει $\alpha \geqslant 4.$

Εύκολα βγάζουμε $\alpha -4=\left ( \gamma -\sqrt{\beta } \right )^{2}=\gamma ^{2}+\beta -2\gamma \sqrt{\beta }$ .

Συνεπώς είναι $\displaystyle \sqrt{\beta }=\frac{\gamma ^{2}+\beta -\left ( \alpha -4 \right )}{2\gamma }\in \mathbb{Q}$

Αφού ο $\beta$ είναι φυσικός, έπεται ότι είναι και τέλειο τετράγωνο φυσικού. Δηλαδή οι αριθμοί $\alpha -4$ και $\beta$ είναι
τέλεια τετράγωνα φυσικού. Συνεπώς τώρα εργαζόμαστε πολύ απλά. Πρώτα θα βρούμε τον μικρότερο τριψήφιο. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε τα $\alpha ,\beta .$ Οπότε θα διαλέξουμε $\sqrt{\alpha -4}=0,\sqrt{\beta }=3.$ Τότε είναι $\overline{\alpha \beta \gamma }=493.$ Στη συνέχεια θα βρούμε τον μεγαλύτερο τριψήφιο. Αυτό επιτυγχάνεται όταν $\sqrt{\alpha -4}=2,\sqrt{\beta }=3.$
Τότε $\overline{\alpha \beta \gamma }=895.$

Συνοψίζοντας, βρήκαμε $\boxed{493\leqslant \overline{\alpha \beta \gamma }\leqslant 895}$

Henri van Aubel · #5

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3.
Ας είναι

τα μικρά διαμάντια, τότε είναι x-1

τα μεσαία και x-2

τα μεγάλα . Χρησιμοποιήθηκαν x-8

μικρά διαμάντια, x-2

μεσαία και x-3

μεγάλα. Καταλήγουμε στην παρακάτω απλή πρωτοβάθμια εξίσωση:

$\displaystyle \frac{x-8}{9}+\frac{x-2}{6}+\frac{x-3}{5}=88\Leftrightarrow x=188$

Συνεπώς όλα τα διαμάντια ήταν 186+187+188=561.

Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση