mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 12:31 am**

: Ekkentro.jpg (29.64 KiB) Προβλήθηκε 2360 φορές

Οι κύκλοι $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου

στα σημεία $\displaystyle{C{\text{ \& }}D}$ αντίστοιχα και μεταξύ τους εξωτερικά στο σημείο

. Η κοινή τους εφαπτομένη

(σχήμα) τέμνει τον κύκλο

στα σημεία $\displaystyle{M{\text{ \& }}N}$ . Η κοινή τους εφαπτομένη στο σημείο

, τέμνει τον

στο σημείο

. Να αποδειχθεί ότι το σημείο

είναι το έκκεντρο του τριγώνου AMN

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 1:12 am**

Θεωρώ ότι είναι συνδυασμός δύο γεγονότων:
1) Της παρέμβασης μου (δωδέκατο πλαίσιο) στο
viewtopic.php?f=112&t=14540,
όπου αποδεικνύεται εκεί οτι η ΑΒ, του σχήματος του Σεραφείμ, διέρχεται από το μέσο S του ελάσσονος τόξου ΜΝ καί
2) Του γεγονότος ότι όταν έχουμε μία σταθερή χορδή, έστω ΜΝ σταθερού κύκλου, έστω (Ο,R) και στο μείζον ας πούμε τόξο κινείται σημείο Α τότε ο γεωμετρικός τόπος των έκκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ είναι τόξο του κύκλου (S,SM) (εδώ τελικά το ΜΒΝ), όταν S είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου ΜΝ.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 1:26 am**

Είναι αλήθεια Σωτήρη, η άσκηση μου προέκυψε από κάποια σημεία που προαναφέρεις .. απλά αφαίρεσα κάποιες γραμμές ..

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 3:58 pm**

Και επειδή δεν είναι και τόσο «σοφό» να στέλνουμε τον ενδιαφερόμενο σε παραπομπές, τα σημεία των οποίων έτσι και αλλιώς είναι καταγεγραμμένα,

► Ο γεωμετρικός τόπος (σχημα 1) των έκκεντρων τριγώνων ΑΜΝ εγγεγραμμένων σε δοθέντα κύκλο (Ο,R) με την χορδή ΜΝ δεδομένη και όταν η κορυφή Α κινείται στο ένα τόξο (ας πάρουμε εδώ στο μείζον) είναι το τόξο του κύκλου (S,SM) που βρίσκεται στο ίδιο μέρος με το μείζον τόξο, με S το μέσο του μικρού τόξου ΜΝ και αυτό επειδή σε γενικές γραμμές , αν Β το έκκεντρο,
$\angle BMS = \angle \frac{{\mathop A\limits^ \wedge }} {2} + \angle \frac{{\mathop M\limits^ \wedge }} {2} = \angle MBS,\;o\mu o\iota \alpha \;\angle BNS = \angle \frac{{\mathop A\limits^ \wedge }} {2} + \angle \frac{{\mathop N\limits^ \wedge }} {2} = \angle NBS,$ με το αντίστροφο να είναι εξ’ ίσου φιλικό.

► Θα εργαστούμε στο σχήμα (2) που ακολουθεί όταν O_1 ,O_2 ,

είναι τα κέντρα των εσωτερικών κύκλων C_1 ,C_2 ,

αντίστοιχα, S είναι το μέσο του μικρού τόξου ΜΝ,W το μέσο της χορδής ΜΝ, S΄ το αντιδιαμετρικό του σημείου S:
Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα
$\vartriangle ODS,\vartriangle O_2 DF\;\left( {OS \bot MN,O_2 F \bot MN \Rightarrow OS\parallel O_2 F} \right),$
είναι όμοια σημαίνει ότι τα σημεία S, F, D είναι συνευθειακά, ομοίως και τα σημεία S, E, C. Έχουμε:
$\angle SDS{'} = \angle EWS{'} = 90^ \circ \Rightarrow SE \cdot SD = SW \cdot SS{'} = SN^2 = SM^2 = SW \cdot SS{'} = SE \cdot SC,$
που σημαίνει ότι το S είναι σημείο του ριζικού άξονα των «μέσα κύκλων» άρα το ευθύγραμμο τμήμα SB είναι εφαπτόμενο τμήμα τους (ριζικός άξονας). Τελικά SN=SM=SB, οπότε με τον προηγούμενο γεωμετρικό τόπο το Β είναι έκκεντρο του τριγώνου ΑΜΝ.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 5:18 pm**

Καθώς έγραφα την απάντησή μου είδα ότι ο κ.Λουρίδας με πρόλαβε με αυτά τα 2 πολύ χρήσιμα λημματάκια,οπότε ας αναφέρω κάτι άλλο.
Γενικά το μοτίβο αυτό με μικρούς "εφαπτομενικούς" κύκλους μέσα σε άλλον είναι συχνό σε διαγωνισμούς και θεωρώ χρήσιμο να αναφέρω 2 χαρακτηριστικά παραδείγματα που έχω υπόψιν μου:
1) Ρουμανία 1997 http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... .php?t=307
2) ΙΜΟ Longlist 1992 G4 http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?id=1058 (αρχείο PDF)

To θέμα μας εδώ είναι ουσιαστικά το μισό (1).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 8:41 pm**

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνάδελφο Kalagz γιά την προσφορά υλικού από το προσωπικό του αρχείο.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 11, 2011 10:45 pm**

Μου είχαν κάνει και μένα εντύπωση αυτές οι προτάσεις και μάλιστα αποτελούσαν την κύρια ιδέα(λήμματα) για αρκετές ασκήσεις διαγωνισμών.
Για το λόγο αυτό , στο βιβλίο '' Γεωμετρία για Διαγωνισμούς - 3'' έβαλα τις ιδέες αυτές ως ασκήσεις και συγκεκριμένα 2.14(σελίδα 110) και 3.15 (σελίδα 245), ώστε να μην περάσουν απαρατήρητες από τους μαθητές μας.

Κάποιος μαθητής μάς ζήτησε σε κάποιο μήνυμα να μαζέψουμε ορισμένα λήμματα. Να λοιπόν που ένα ωραίο λήμμα είναι αυτό που πρότεινε εδώ ο Σεραφείμ.
Ας το συγρατήσουμε και αν χρειαστεί να το βάλουμε στον κατάλληλο φάκελο(Ξέρει ο Σεραφείμ) όταν έρθει η ώρα.

Μπάμπης

mathematica.gr

Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.

Re: Γεωμετρία - Εφαπτόμενοι κύκλοι - Έκκεντρο.