EGMO 2023

#1

Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

EGMO 2023 - Portoroz, Slovenia

1η μέρα - 15 Απριλίου 2023 (Μ. Σάββατο)

Πρόβλημα 1.

Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ . Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$ (εδώ ορίζουμε το a_0

να είναι το a_n

και το $a_{n+1}$ να είναι το a_1

). Υποθέτουμε ότι για όλα τα

και

με $1\leqslant i, j\leqslant n$ , έχουμε $a_i \leqslant a_j$ αν και μόνο αν $b_i \leqslant b_j$ .

Να αποδείξετε ότι $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Πρόβλημα 2.

Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

. Έστω

το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του, τέτοιο ώστε η

να είναι διάμετρος. Έστω τα σημεία

και

στα τμήματα

και

, αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι

και

να είναι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AKL

.

Να αποδείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

.

Tο ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των υψών του.

Πρόβλημα 3.

Έστω

ένας θετικός ακέραιος. Η Αλεξία έχει ένα λεξικό $\mathcal D$ που αποτελείται από κάποιες σειρές

γραμμάτων που περιέχουν μόνο τα γράμματα

και

. Η Αλεξία θα επιθυμούσε να γράψει είτε το γράμμα

είτε το γράμμα

σε κάθε κελί ενός $k \times k$ πλέγματος έτσι ώστε κάθε στήλη να περιέχει μια σειρά του $\mathcal D$ , όταν διαβαστεί από πάνω προς τα κάτω και κάθε γραμμή να περιέχει μια σειρά του $\mathcal D$ , όταν διαβαστεί από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Ποιος είναι ο ελάχιστος ακέραιος

τέτοιος ώστε αν το $\mathcal D$ περιέχει τουλάχιστον

διαφορετικές σειρές, τότε η Αλεξία να μπορεί να συμπληρώσει το πλέγμα της με αυτό τον τρόπο, ανεξάρτητα από τις σειρές που υπάρχουν στο $\mathcal D$ ?

2η μέρα - 16 Απριλίου 2023 (Κυριακή του Πάσχα)

Πρόβλημα 4.

O Turbo το σαλιγκάρι βρίσκεται σε ένα σημείο ενός κύκλου με μήκος περιφέρειας

. Δοθείσας μιας άπειρης ακολουθίας θετικών πραγματικών αριθμών $c_1, c_2,c_3, \ldots$ , ο Turbo σέρνεται διαδοχικά αποστάσεις $c_1, c_2, c_3, \ldots$ γύρω από τον κύκλο, κάθε φορά επιλέγοντας να σέρνεται είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα.

Για παράδειγμα, αν η ακολουθία $c_1, c_2, c_3, \ldots$ είναι η $0.4, 0.6, 0.3, \ldots$ , τότε ο Turbo μπορεί να ξεκινήσει να σέρνεται ως ακολούθως:

: p4figcomma-figure0.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 2584 φορές

Να προσδιορίσετε τη μέγιστη σταθερά C > 0

με την παρακάτω ιδιότητα: για κάθε ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών $c_1, c_2, c_3, \ldots$ με c_i < C

για όλα τα

, o Turbo (αφού μελετήσει την ακολουθία) μπορεί να εξασφαλίσει ότι υπάρχει κάποιο σημείο στον κύκλο το οποίο δε θα επισκεφτεί ποτέ ή δε θα συρθεί πάνω από αυτό.

Πρόβλημα 5.

Δίνεται ένας θετικός ακέραιος $s \geqslant 2$ . Για κάθε θετικό ακέραιο

, ορίζουμε τον αντεστραμμένο του

ως ακολούθως: γράφουμε τον

ως

, όπου

είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και b<s

, οπότε

. Για το θετικό ακέραιο

, θεωρούμε την άπειρη ακολουθία $d_1, d_2, \ldots$ όπου d_1 = n

και $d_{i+1}$ είναι ο αντεστραμμένος του d_i

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία περιέχει το

αν και μόνο αν ο

όταν διαιρεθεί με τον s^2-1

αφήνει υπόλοιπο

ή

.

Πρόβλημα 6.

Έστω τρίγωνο ABC

με περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ . Έστω S_b

και

, αντίστοιχα, τα μέσα των τόξων

και

τα οποία δεν περιέχουν την τρίτη κορυφή του τριγώνου. Έστω N_a

το μέσο του τόξου ΒAC

(το τόξο

που περιέχει το

). Έστω

το έγκεντρο του τριγώνου ABC

. Έστω $\omega_b$ ο κύκλος που εφάπτεται στο

και εφάπτεται εσωτερικά στον $\Omega$ στο S_b

, και έστω $\omega_c$ ο κύκλος που εφάπτεται στο

και εφάπτεται εσωτερικά στον $\Omega$ στο S_c

. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΙN_a

, και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των $\omega_b$ και $\omega_c$ , τέμνονται πάνω στον $\Omega$ .

Το έγκεντρο ενός τριγώνου είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του, δηλαδή του κύκλου στο εσωτερικό του τριγώνου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

EGMO 2023 - Portoroz, Slovenia

1η μέρα - 15 Απριλίου 2023 (Μ. Σάββατο)

Πρόβλημα 1.

Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ . Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$ (εδώ ορίζουμε το να είναι το και το $a_{n+1}$ να είναι το ). Υποθέτουμε ότι για όλα τα και με $1\leqslant i, j\leqslant n$ , έχουμε $a_i \leqslant a_j$ αν και μόνο αν $b_i \leqslant b_j$ .

Να αποδείξετε ότι $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Καλά αποτελέσματα στην ομάδα!
Από την συνθήκη έχουμε $(b_{i+1}-b_i)(a_{i+1}-a_{i})\geq 0$ για i=1,..,n

.
Επομένως, $\displaystyle \sum_{i=1}^n(b_{i+1}-b_i)(a_{i+1}-a_{i})\geq 0\Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow\sum_{i=1}^nb_{i+1}a_{i+1}-\sum_{i=1}^nb_{i+1}a_i-\sum_{i=1}^nb_ia_{i+1}+\sum_{i=1}^na_ib_i\geq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2\sum_{i=1}^na_i\dfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}\geq \sum_{i=1}^na_i\dfrac{a_i+a_{i+2}}{a_{i+1}}+\sum_{i=1}^na_{i+1}\dfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}\Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4\sum_{i=1}^n a_i\geq \sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2+a_ia_{i+2}}{a_{i+1}}+\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i+2}^2+a_ia_{i+2}}{a_{i+1}}\Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4\sum_{i=1}^n a_i\geq \sum_{i=1}^n \dfrac{(a_i+a_{i+2})^2}{a_{i+1}}\overset{C-S}{\geq }\dfrac{4\left (\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \right )^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}=4\sum_{i=1}^n a_i$
άρα το $\dfrac{a_i+a_{i+2}}{a_{i+1}}$ πρέπει να είναι σταθερό (για να έχουμε ισότητα στην C-S

), δηλαδή

.
Τώρα αφού $b_i\geq b_j$ και $b_j\geq b_i$ για όλα τα i,j

παίρνουμε $a_i\geq a_j$ και $a_j\geq a_i$ για όλα τα i,j

και το ζητούμενο έπεται.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

EGMO 2023 - Portoroz, Slovenia

1η μέρα - 15 Απριλίου 2023 (Μ. Σάββατο)

Πρόβλημα 3.

Έστω ένας θετικός ακέραιος. Η Αλεξία έχει ένα λεξικό $\mathcal D$ που αποτελείται από κάποιες σειρές γραμμάτων που περιέχουν μόνο τα γράμματα και . Η Αλεξία θα επιθυμούσε να γράψει είτε το γράμμα είτε το γράμμα σε κάθε κελί ενός $k \times k$ πλέγματος έτσι ώστε κάθε στήλη να περιέχει μια σειρά του $\mathcal D$ , όταν διαβαστεί από πάνω προς τα κάτω και κάθε γραμμή να περιέχει μια σειρά του $\mathcal D$ , όταν διαβαστεί από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Ποιος είναι ο ελάχιστος ακέραιος τέτοιος ώστε αν το $\mathcal D$ περιέχει τουλάχιστον διαφορετικές σειρές, τότε η Αλεξία να μπορεί να συμπληρώσει το πλέγμα της με αυτό τον τρόπο, ανεξάρτητα από τις σειρές που υπάρχουν στο $\mathcal D$ ?

Απάντηση : $m=2^{k-1}$ .
Αν $m<2^{k-1}$ παίρνουμε την

να αποτελείται από ακριβώς τις λέξεις που ξεκινούν με

πλην της

(υπάρχουν $2^{k-1}-1$ τέτοιες λέξεις). Τότε όμως η λέξη στην πάνω σειρά του πίνακα περιέχει τουλάχιστον ένα

αλλά δεν υπάρχει λέξη (στο

) που ξενικά με

. Έτσι $m\geq 2^{k-1}$ . Παρατηρούμε ότι αν κάποια εκ των AAA..A

και

εμφανίζεται στο

τότε απλά γεμίζουμε τα πλέγμα με

's ή

's. Υποθέτουμε ότι καμία εκ των δύο δεν υπάρχει στο

.
Μπορούμε τώρα κάθε πιθανή λέξη να την ζευγαρώσουμε με την "συζυγή" της που προκύπτει από αυτήν εναλλάσοντας κάθε

σε

και αντίστροφα.
Υπάρχουν $2^{k-1}-1$ τέτοια ζεύγη (αγνοούμε το (A..A,B..B)

) και έτσι τουλάχιστον ένα τέτοιο ζεύγος (C,C')

θα υπάρχει ολόκληρο στο

.
Τώρα αν για παράδειγμα ήταν C=ABBAA

γεμίζουμε τον πίνακα κάπως έτσι,
A,B,B,A,B

Γενικότερα βάζουμε την λέξη

στην πάνω σειρά και στην πιο αριστερή στήλη και μετά για κάθε επόμενη σειρά βάζουμε την

αν το γράμμα στην πρώτη στήλη είναι το ίδιο με αυτό στην

αλλιώς την

, είναι απλό να δούμε ότι αυτό αρκεί.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

Πρόβλημα 6.

Έστω τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ . Έστω και , αντίστοιχα, τα μέσα των τόξων και τα οποία δεν περιέχουν την τρίτη κορυφή του τριγώνου. Έστω το μέσο του τόξου (το τόξο που περιέχει το ). Έστω το έγκεντρο του τριγώνου . Έστω $\omega_b$ ο κύκλος που εφάπτεται στο και εφάπτεται εσωτερικά στον $\Omega$ στο , και έστω $\omega_c$ ο κύκλος που εφάπτεται στο και εφάπτεται εσωτερικά στον $\Omega$ στο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία , και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των $\omega_b$ και $\omega_c$ , τέμνονται πάνω στον $\Omega$ .

Το έγκεντρο ενός τριγώνου είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του, δηλαδή του κύκλου στο εσωτερικό του τριγώνου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του.

Έστω

η τομή

με $\Omega$ .
Κατά τα γνωστά

είναι το σημείο επαφής του $\Omega$ με τον

-μικτεγεγραμμένο (κύκλος $\omega$ στο εξής )
Ορίζουμε B',C'

ως σημεία επαφής του $\omega$ με AC,AB

.
Τότε

συνευθειακά και S_b,B',A'

το ίδιο, αφού τώρα A'A

είναι η

-συμμετροδιάμεσος στο $\Delta A'B'C'$ παίρνουμε ότι A'S_bAS_c

είναι αρμονικό.
Έστω

το σημείο τομής των εφαπτομένων στον $\Omega$ στα S_B,S_C

. Αφού

αρμονικό θα είναι $T\in AC$ .
Έστω τώρα C_1,B_1

τα σημεία επαφής του $\omega_b,\omega_c$ με τις AB,AC

αντίστοιχα.
τότε S_bC'

πρέπει να περνά από το μέσο του τόξου

δηλαδή το

και έτσι

συνευθειακά.
Τώρα παρατηρούμε ότι αν $K,L=(\omega_b)\cap (\omega_c)$ από ριζικούς άξονες έχουμε $T\in KL$ αλλά επίσης $pow(A,\omega_b)=AC_1^2=AB_1^2=pow(A,\omega_c)$ και έτσι $A\in KL$
Έχουμε δηλαδή $KL\equiv AT$ και αφού $A'\in AT$ η απόδειξη ολοκληρώνεται.

: 53.PNG (59.7 KiB) Προβλήθηκε 2543 φορές

Batapan · #5

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Πρόβλημα 2.

Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του, τέτοιο ώστε η να είναι διάμετρος. Έστω τα σημεία και στα τμήματα και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι και να είναι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Tο ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των υψών του.

έστω

το μέσο του

. Θα δειξουμε ότι αυτό ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του ABC

.
Είναι $\displaystyle{\displaystyle \angle DBK=\angle DMK=\angle DCL=\angle DML=90^\circ,}$
συνεπώς τα BDMK

,

είναι εγγράψιμα.

Επίσης, $\displaystyle{\displaystyle \angle ABM=\angle KDM=90^\circ-\angle DKM=90^\circ-\angle BAC=\angle ABH,}$ και με όμοιο τρόπο παίρνουμε $\displaystyle{\angle ACM=\angle ACH}$
Άρα $H \equiv M$

: egmo 2023.png (71.11 KiB) Προβλήθηκε 2535 φορές

#6

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

EGMO 2023 - Portoroz, Slovenia

1η μέρα - 15 Απριλίου 2023 (Μ. Σάββατο)

Πρόβλημα 2.

Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του, τέτοιο ώστε η να είναι διάμετρος. Έστω τα σημεία και στα τμήματα και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι και να είναι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Tο ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των υψών του.

Έστω

το σημείο τομής του ύψους

με την

: EGMO 2023.png (22.57 KiB) Προβλήθηκε 2503 φορές

$\displaystyle B\widehat AE = D\widehat AC.$ Αλλά, η

η ευθεία της

συμμετροδιαμέσου του AKL,

οπότε

είναι το μέσο του KL,

δηλαδή $DH\bot KL.$ Άρα το HLCD

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle L\widehat CH = L\widehat DH = 90^\circ - K\widehat LD = 90^\circ - \widehat A.$

Επομένως, $CH\bot AB$ και το

είναι ορθόκεντρο του ABC.

Τσιαλας Νικολαος · #7

Καλημέρα και κάλη επιτυχία στα κορίτσια μας! Θέλω να ρωτήσω... Αλλαγή ώστε να μπει και τέταρτο κορίτσι στην εθνική μας δεν μπορούσε να γίνει;

thepigod762 · #8

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Πρόβλημα 5.

Δίνεται ένας θετικός ακέραιος $s \geqslant 2$ . Για κάθε θετικό ακέραιο , ορίζουμε τον αντεστραμμένο του ως ακολούθως: γράφουμε τον ως , όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και , οπότε . Για το θετικό ακέραιο , θεωρούμε την άπειρη ακολουθία $d_1, d_2, \ldots$ όπου και $d_{i+1}$ είναι ο αντεστραμμένος του για κάθε θετικό ακέραιο .

Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία περιέχει το αν και μόνο αν ο όταν διαιρεθεί με τον αφήνει υπόλοιπο ή .

Έστω

, και $n \equiv A \pmod{s^2-1}.$ Τότε
$\displaystyle s^2p+sq=s(ps+q)\equiv As \pmod{s^2-1}$ , άρα $\displaystyle sq+p \equiv As-p(1-s^2)\equiv As \pmod{s^2-1}$
είναι το υπόλοιπο του d_2

.

Οπότε το υπόλοιπο του d_3

θα είναι το $As^2 \equiv A \pmod{s^2-1}$ .

Δηλαδή θα έχουμε εναλλάξ τα υπόλοιπα

,

.

Επομένως, για το ευθύ, αν η ακολουθία περιέχει το

, θα είναι $A\equiv 1 \pmod{s^2-1}$ ή $As \equiv 1 \equiv s^2 \pmod{s^2-1} \Rightarrow A \equiv s \pmod{s^2-1}$ ( $s \geq 2 \Leftrightarrow (s, s^2-1)=1$ ).

Για το αντίστροφο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ακολουθία περιέχει όρους μικρότερους (ή ίσους) του s^2-1

. Πράγματι, για $d_n=as+b\geq s^2, b<s$ είναι $as\geq s^2-b>s^2-s \Leftrightarrow a>s-1\geq b$ , οπότε $d_n=as+b > bs+a=d_{n-1}$ , δηλαδή οι όροι μεγαλύτεροι του s^2-1

μειώνονται σταθερά, οπότε από άπειρη κάθοδο έχουμε το αποδεικτέο.

Ορέστης Λιγνός · #9

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Πρόβλημα 1.

Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ . Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$ (εδώ ορίζουμε το να είναι το και το $a_{n+1}$ να είναι το ). Υποθέτουμε ότι για όλα τα και με $1\leqslant i, j\leqslant n$ , έχουμε $a_i \leqslant a_j$ αν και μόνο αν $b_i \leqslant b_j$ .

Να αποδείξετε ότι $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Έστω $c_i=\dfrac{a_{i+1}}{a_i}$ για κάθε

, οπότε $c_1c_2 \ldots c_n=1$ . Τότε, $b_i=\dfrac{1}{c_{i-1}}+c_i$ για κάθε

, οπότε από την συνθήκη προκύπτει ότι

$(a_{i+1}-a_i)(b_{i+1}-b_i) \geq 0,$

δηλαδή ότι

$(c_i-1)((\dfrac{1}{c_i}-\dfrac{1}{c_{i-1}})+(c_{i+1}-c_i)) \geq 0, \,\,\, (1)$ .

Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, οπότε υπάρχει c_i

που δεν είναι ίσο με

. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $c_2=\min c_i$ . Τότε, αφού $c_1c_2 \ldots c_n=1,$ πρέπει c_2<1

. Με

στην (1) έχουμε ότι η πρώτη παρένθεση είναι αρνητική, και η δεύτερη είναι μη αρνητική, καθώς $c_1 \geq c_2$ και $c_3 \geq c_2$ .

Συνεπώς, για να ισχύει η συνθήκη πρέπει η δεύτερη παρένθεση να είναι ίση με το μηδέν, και άρα c_1=c_2=c_3

. Τώρα, με i=3

στην (1) έχουμε με όμοιο τρόπο ότι c_4=c_3

, και συνεχίζοντας προκύπτει ότι όλα τα c_i

είναι ίσα μεταξύ τους, και αφού έχουν γινόμενο

αυτό σημαίνει ότι c_i=1

για κάθε

, που είναι άτοπο.

Συνεπώς, το ζητούμενο πράγματι ισχύει.

Ορέστης Λιγνός · #10

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Πρόβλημα 4.

O Turbo το σαλιγκάρι βρίσκεται σε ένα σημείο ενός κύκλου με μήκος περιφέρειας . Δοθείσας μιας άπειρης ακολουθίας θετικών πραγματικών αριθμών $c_1, c_2,c_3, \ldots$ , ο Turbo σέρνεται διαδοχικά αποστάσεις $c_1, c_2, c_3, \ldots$ γύρω από τον κύκλο, κάθε φορά επιλέγοντας να σέρνεται είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα.

Για παράδειγμα, αν η ακολουθία $c_1, c_2, c_3, \ldots$ είναι η $0.4, 0.6, 0.3, \ldots$ , τότε ο Turbo μπορεί να ξεκινήσει να σέρνεται ως ακολούθως:

p4figcomma-figure0.png
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη σταθερά με την παρακάτω ιδιότητα: για κάθε ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών $c_1, c_2, c_3, \ldots$ με για όλα τα , o Turbo (αφού μελετήσει την ακολουθία) μπορεί να εξασφαλίσει ότι υπάρχει κάποιο σημείο στον κύκλο το οποίο δε θα επισκεφτεί ποτέ ή δε θα συρθεί πάνω από αυτό.

Αντικαθιστούμε το όνομα Turbo με το όνομα Γκάρι το Σαλιγκάρι. Θα αποδείξουμε ότι η απάντηση είναι $C_{\rm max}=\dfrac{1}{2}$ .

Μέρος 1: Η σταθερά $C=\dfrac{1}{2}$ ικανοποιεί τη συνθήκη. Πράγματι, ξεκινώντας από ένα σημείο

, o Γκάρι το Σαλιγκάρι μπορεί να εξασφαλίσει ότι δεν θα επισκεφτεί ποτέ το αντιδιαμετρικό σημείο του

, έστω

. Για να το πετύχει αυτό, αρκεί σε κάθε κίνηση να επιλέγει την φορά κίνησης προς την οποία είναι πιο μακριά από το σημείο

. Αφού $c_i<\dfrac{1}{2}$ για κάθε

και η απόσταση που πρέπει να διανύει σε μία κίνηση για να φτάσει στο σημείο

είναι $\geq \dfrac{1}{2}$ , δεν θα το επισκεφτεί ποτέ.

Μέρος 2: Αν $C>\dfrac{1}{2},$ τότε ο Γκάρι το Σαλιγκάρι δεν μπορεί να πετύχει τον στόχο του. Πράγματι, έστω η ακολουθία (c_n)

με $c_{2n+1}=\dfrac{C}{2}+\dfrac{1}{4}$ και $c_{2n+2}=\dfrac{1}{2}$ .

Για αυτήν την ακολουθία είναι προφανές ότι $\dfrac{1}{2} \leq c_n<C$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Αν υποθέσουμε ότι ο Γκάρι το Σαλιγκάρι μπορεί να πετύχει τον στόχο του. Τότε, πρέπει να κινείται εναλλάξ αριστερόστροφα-δεξιόστροφα, γιατί σε αντίθετη περίπτωση η μετατόπισή της θέσης του από ένα σημείο

θα είναι $\geq \dfrac{1}{2}+(\dfrac{C}{2}+\dfrac{1}{4})>1,$ πράγμα άτοπο.

Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι στην πρώτη του κίνηση κινείται δεξιόστροφα. Τότε, μετά από

κινήσεις, θα βρίσκεται σε απόσταση $n((\dfrac{C}{2}+\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{2})=\dfrac{n(2C-1)}{4},$ επομένως αν πάρουμε έναν θετικό ακέραιο

αρκετά μεγάλο ώστε $n>\dfrac{4}{2C-1}$ , τότε η συνολική απόσταση είναι

, δηλαδή ο Γκάρι το Σαλιγκάρι έχει καλύψει ολόκληρο τον κύκλο, άτοπο.

miltosk · #11

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 9:33 am
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη!

Πρόβλημα 1.

Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ . Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$ (εδώ ορίζουμε το να είναι το και το $a_{n+1}$ να είναι το ). Υποθέτουμε ότι για όλα τα και με $1\leqslant i, j\leqslant n$ , έχουμε $a_i \leqslant a_j$ αν και μόνο αν $b_i \leqslant b_j$ .

Να αποδείξετε ότι $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Έστω $a_{k_1} \leq a_{k_2} \leq a_{k_3} \leq ...\leq a_{k_n}$ . Η συνθήκη δίνει:
$b_{k_1} \leq b_{k_2} \leq b_{k_3} \leq ...\leq b_{k_n}$ .
Από ανισότητα Chebyshev:
$n\sum_{n}^{i=1}a_{k_i}b_{k_i} \geq (\sum_{n}^{i=1}a_{k_i})(\sum_{n}^{i=1}b_{k_i})$
Αλλά: $\sum_{n}^{i=1}a_{k_i}b_{k_i}=\sum_{n}^{i=1}(a_{k_i-1}+a_{k_i-1})=2\cdot \sum_{n}^{i=1}a_{k_i}=2\cdot \sum_{n}^{i=1}a_i$
Άρα: $\sum_{n}^{i=1}b_{k_i} \leq 2n, (2)$
Από Cauchy: $b_i \geq 2\sqrt{\frac{a_{i+1}a_{i-1}}{a_i^2}} \Rightarrow \sum_{n}^{i=1}b_{k_i} \geq (\prod_{i=1}^{n}b_i)^{\frac{1}{n}} \geq 2n, (3)$ .
Από $(2), (3) \Rightarrow b_i$ ίσα. Αλλά για να ισχύει η ισότητα στη (2) και αφού τα b_i

ίσα θα έχουμε a_i

ίσα.

EGMO 2023

EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Re: EGMO 2023

Μέλη σε σύνδεση