mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 24, 2016 12:41 am**

Δίνεται η συνάρτηση $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{e^{f(x)}f''(x)-sinx=-e^{f(x)}\left[f'(x) \right]^2, x>0}$ με
$\displaystyle{f(\frac{\pi}{2})=ln\left(\frac{\pi}{2}-1 \right)}$ και $\displaystyle{f'(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi-2}}$

1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Αποδείξτε οτι η συνάρτηση g(x)=lnx

«διαπερνά» την C_f

σε άπειρα σημεία

3) Να υπολογιστουν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{ln^2x}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\frac{f(x)}{f'(x)}}$

4) Αποδείξτε οτι $\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)dx} < \frac{1}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 24, 2016 7:58 am**

Στο 5 η ανισότητα με το ημίτονο είναι ανάποδη.
Πιθανόν να έχει πρόβλημα και η ανισότητα με το ολοκλήρωμα.

Συμπλήρωση.
Η ανισότητα με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστή.

Συμπλήρωση 26-4-2016
Τα παραπάνω αναφέρονται στο ερώτημα 5 το οποίο κατά την επεξεργασία εξαφανίστηκε.
Ο καθένας βγάζει τα συμπεράσματα του.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 24, 2016 4:33 pm**

A)

$\Rightarrow {e}^{f(x)}f'(x)=-cosx+c_1$

Για $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow c_1=1$ $\Rightarrow {e}^{f(x)}=-sinx+x+c_2$

Για $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow c_2=0$ $\Rightarrow f(x)=ln(x-sinx),x>0$ και ορίζεται διότι $sinx<x,\forall x>0$

B)

$g(x)=f(x)\Leftrightarrow lnx=ln(x-sinx)\Leftrightarrow sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{N^*}$

Γ)

i)

$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{ln^2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left( \frac{lnx+ln\left(1-\frac{sinx}{x} \right)}{ln^2x}\right)}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{lnx} + ln\left(1-\frac{sinx}{x}\right)\frac{1}{ln^2x} \right)=0+0\cdot 0=0}$

ii)

$\displaystyle{\left|{\frac{f(x)}{f'(x)}}} \right|< \left|{\frac{x-sinx}{f'(x)}}} \right|=\frac{(x-sinx)^2}{1-cosx}}$

$\displaystyle{\Rightarrow -\frac{(x-sinx)^2}{1-cosx}<\frac{f(x)}{f'(x)}<\frac{(x-sinx)^2}{1-cosx}}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(x-sinx)^2}{1-cosx}=2\cdot \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x-xcosx-sinx+sinxcosx}{sinx}=2(1-1-1+1)=0}$

Aπό κριτήριο παρεμβολής εύκολα παίρνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}=0$

Δ)

Εδώ σίγουρα είναι $\frac{1}{2}$ και όχι $-\frac{1}{2}$ ;;;

Εύκολα δείχνουμε ότι η

γνησίως αύξουσα στο $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$

Οπότε,

$\displaystyle{\frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{\pi}{3} \Rightarrow f(x)\leq f\left(\frac{\pi}{3} \right) }$

$\displaystyle{\Rightarrow ...\Rightarrow \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)dx}<ln\left( \frac{\pi}{3}-sin\frac{\pi}{3}\right)\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}dx<0<\frac{1}{2}}$

mathematica.gr

Mix

Mix

Re: Mix

Re: Mix