Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

#1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ για την οποία υπάρχει $\displaystyle{\rm \xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{\rm f(\xi)=0.}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\rm x_0 \in (0,1),}$ ώστε

$\displaystyle{\rm x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx.}$

$\displaystyle{\rule{350pt}{1pt}}$

Από το Mathematics Magazine.

#2

matha έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ για την οποία υπάρχει $\displaystyle{\rm \xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{\rm f(\xi)=0.}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\rm x_0 \in (0,1),}$ ώστε

$\displaystyle{\rm x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx.}$

Με λίγο ανορθόδοξη τακτική.
Έστω g(x)=xf(x).

Ας υποθέσουμε πως $\displaystyle{ g(x)-\int\limits_0^x {g(t)dt} \ne 0,\forall x \in \left( {0,1} \right)}$ .

Τότε λόγω συνέχειας θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0,1).

Χωρίς βλάβη ας είναι: $\displaystyle{ g(x)-\int\limits_0^x {g(t)dt} > 0,\forall x \in \left( {0,1} \right)}$ .

Τότε λόγω συνέχειας η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{h(x) = {e^{ - x}}\int\limits_0^x {g(t)dt} }$ θα είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1].

Δηλαδή $\displaystyle{x > 0 \Rightarrow h(x) > h(0) = 0 \Rightarrow \int\limits_0^x {g(t)dt} > 0,x \in (0,1]}$

Η υπόθεσή μας για $x=\xi$ δίνει όμως: $\displaystyle{\int\limits_0^\xi {g(t)dt} < 0,\xi \in (0,1)}$

Άτοπο σύμφωνα με το τελευταίο μας συμπέρασμα.

Τώρα αν υποθέσουμε πως $\displaystyle{ g(x)-\int\limits_0^x {g(t)dt} < 0,\forall x \in \left( {0,1} \right)}$ έχουμε πως για

τον ίδιο λόγο η συνάρτηση

που θεωρήσαμε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1]

επομένως

$\displaystyle{\chi > 0 \Rightarrow h(x) < h(0) = 0 \Rightarrow \int\limits_0^x {g(t)dt} < 0,x \in (0,1].}$

Όμως και πάλι η υπόθεση μας για $x=\xi$ μας δίνει: $\displaystyle{\int\limits_0^\xi {g(t)dt} > 0,\xi \in (0,1].}$

Άτοπο.

Επομένως σε κάθε περίπτωση υπάρχει $x_{0} \in (0,1)$ ώστε

$\displaystyle{g({x_0}) = \int\limits_0^{{x_0}} {g(t)dt} ,{x_0} \in (0,1) \Leftrightarrow {x_0}f({x_0}) = \int\limits_0^{{x_0}} {tf(t)dt} ,{x_0} \in (0,1)}$

maiksoul · #3

Χριστός Ανέστη, χρόνια πολλά με υγεία, χαρά και δύναμη σε όλους .

Σε αυτόν τον όμορφο προβληματισμό του Θάνου και μετά την πανέμορφη expres αντιμετώπιση του Χρήστου, δίνω μια διαφορετική ,μετωπική (επομένως όχι σύντομη) , αντιμετώπιση.

Έστω οι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο διάστημα $\,\,\,[\,0,\,\,1\,]\,,\,\,\,G(x) = \int\limits_0^x {tf(t)dt} \,\,$ και $\,\,H(x) = {e^{ - x}}G(x)\,\,\,$

>>> αν η $\,\,G\,\,$ δεν είναι $\,\,1 - 1\,\,$ τότε: υπάρχουν $\,\,{x_1},{x_2} \in [0,1]\,\,\mu \varepsilon \,{x_1} < {x_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,G({x_1}) = G({x_2})\,\,\,\,$ επομένως τότε ικανοποιεί το
ROLLE η $\,H\,\,$ και προκύπτει $\,\,H\prime ({x_0}) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - {x_0}}}{x_0}f({\chi _0}) - \,{e^{ - {x_0}}}G({x_0}) = 0 \Leftrightarrow {x_0}f({\chi _0}) - G({x_0}) = 0\,\,\,$ για κάποιο $\,\,{x_0} \in ({\chi _1},{\chi _2})\,\, \subseteq (0,1)\,\,$
που είναι το ζητούμενο.

>>>αν η $\,\,G\,\,$ είναι $\,\,1 - 1\,\,\,$ τότε:
αφού $\,G(0) = 0\,\,$ θα ναι $\,\,\,\forall \chi \in (0,1]\,\,\,\,G(x) \ne 0\,\,$ και αφού είναι και συνεχής θα ναι
$\,G(x) > 0\,\,\,\forall \chi \in (0,1]\,\,\eta \,\,\,G(x) < 0\,\,\,\,\forall \chi \in (0,1]\,\,\,$ $\displaystyle{ \, \bullet \,\,$
Ας θεωρήσουμε πως ισχύει η πρώτη περίπτωση, δηλαδή $\,\,G(x) > 0\forall \chi \in (0,1]\,\,,\,\,(1)\,\,\,$
Θα ναι τότε $\,\,G\prime (\chi ) \ge 0\,\,\forall \chi \in (0,1] \Leftrightarrow \chi \,f(x) \ge 0 \Leftrightarrow \,f(x) \ge 0\,\,\,\,(2)\,\,$

Διότι αν υποθέσουμε ότι $\,\exists {x_1} \in (0,1]\,\,\mu \varepsilon \,\,G\prime ({\chi _1}) < 0\,\,$ τότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ + } \frac{{G(x) - G({x_1})}}{{x - {x_1}}} < 0 \Rightarrow (G(x) - G({x_1}))(x - {x_1}) < 0\,\, \Rightarrow 0 < G(x) < \,G({x_1})\,\,$ για τιμές
του $\,\,\chi \,\,$ μεγαλύτερες και κοντά στο $\,\,{\chi _1}\,\,$ , δηλαδή τότε η $\,\,G\,\,$ ξαναπαίρνει τιμές για $\,\,\chi > {\chi _1}\,\,$ που έχει ξαναπάρει , ως συνεχής, (σύμφωνα με το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών) από πριν στο διάστημα $\,\,[0,{\chi _1}]\,\,$ , το οποίο είναι ΑΤΟΠΟ αφού $\,G\,\,$ είναι $\,\,1 - 1\,\,$ .

Έστω τώρα οι συναρτήσεις
$\,\,F(x) = (x - 1)G(x)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K(x) = xf(x) - G(x)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \in [0,1]\,\,\,\,$

Είναι $\,\,F(0) = F(1) = 0\,\,$ άρα από ROLLE $F\prime ({\xi _1}) = 0 \Leftrightarrow G({\xi _1}) - {\xi _1}f({\xi _1}) + {\xi _1}^2f({\xi _1}) = 0 \Leftrightarrow G({\xi _1}) - {\xi _1}f({\xi _1}) =- {\xi _1}^2f({\xi _1})$ $\,\,(3)\,\,$ για κάποιο $\,\,{\xi _1} \in (0,1)\,\,$

Αν τώρα $\,f({\xi _1}) = 0\,\,$ τότε $\,\,(3) \Rightarrow G({\xi _1}) = 0\,\,$ ΑΤΟΠΟ αφού από $\,\,(1)\, \Rightarrow \,\,G({\xi _1}) > 0\,\,\,$
άρα $\,\,f({\xi _1}) > 0\,\,$ οπότε η $\,\,(3)\,\,$ δίνει $\,\,K({\xi _1}) > 0\,\,$ , όμως $\,\,K(\xi ) = \xi \cdot 0 - G(\xi ) = - \,G(\xi ) < 0\,\,\,$ αφού από υπόθεση είναι $\,\,f(\xi ) = 0\,\,$ , επομένως η συνάρτηση $\,\,\,K\,\,\mu \varepsilon \chi \in [{\xi _1},\xi ]\,\,\eta \,\,\,\chi \in [\xi ,{\xi _1}]\,\,\,\,$ ικανοποιεί το θεώρημα BOLZANO άρα
προκύπτει $\,\,K({x_0}) = 0\,\,\,\mu \varepsilon \,\,{x_{0\,\,}} \in (0,1)\,\,\,$ που είναι το ζητούμενο.

$\, \bullet \,\,$ Ομοίως εργαζόμενοι αν $\,\,G(\chi ) < 0\,\,\,\,\,\,\forall \chi (0,1]\,\,\,$ καταλήγουμε στο ζητούμενο.
Επομένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο.

leuteris · #4

matha έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ για την οποία υπάρχει $\displaystyle{\rm \xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{\rm f(\xi)=0.}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\rm x_0 \in (0,1),}$ ώστε

$\displaystyle{\rm x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx.}$

$\displaystyle{\rule{350pt}{1pt}}$

Από το Mathematics Magazine.

Μια λύση ακόμα, αν και δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητά της...

Η συνάρτηση xf(x)

είναι συνεχής στο διάστημα [0,1]

ως γινόμενο συνεχών και κατά συνέπεια έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.Έστω G(x)

μια παράγουσα της xf(x)

.
Οπότε $\int_{0}^{x_{0}}{xf(x)dx}=G(x_{0})-G(0)$ .Η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο $[0,x_{0}]$ , επομένως υπάρχει $k \in(0,x_{0})$ τέτοιο ώστε $G'(k)=\frac{G(x_{0})-G(0)}{x_{0}-0}\Leftrightarrow \int_{0}^{x_{0}}{xf(x)dx}=G'(k)x_{0} \Leftrightarrow \int_{0}^{x_{0}}{xf(x)dx}=kf(k)x_{0}$ .

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{\rm x_0 \in (0,1),}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\rm x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx \Leftrightarrow x_0 f(x_0)=x_0 kf(k) \Leftrightarrow f(x_0)=kf(k)}$ (1)

(αφού $x_{0} \neq 0$ ).

- Αν f(k)=0

τότε η

γίνεται $f(x_{0})=0$ που ισχύει για $x_0= \xi$

- Αν $f(k) \neq 0$ τότε $k \neq \xi$ :
Θεωρούμε της συνάρτηση $h(x)=f(x)-kf(k), x \in[0,1]$ η οποία είναι συνεχής.
Είναι $h(\xi)=-kf(k)$ και h(k)=f(k)(1-k)

.
Οπότε $h(k)h(\xi )=-kf^{2}(k)(1-k)<0$ .Επομένως από Bolzano υπάρχει $x_0 \in (k,\xi )$ ή $(\xi , k)$ τέτοιο ώστε $h(x_0)=0\Leftrightarrow x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx$

Y.Γ. Περιμένω να μου πείτε αν είναι σωστή

Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

Re: Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

Re: Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

Re: Υπαρξιακό με ολοκλήρωμα!

Μέλη σε σύνδεση