mathematica.gr

Θεωρούμε τους μιγάδες

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγάδα z στις εξής περιπτώσεις:


S.E.Louridas

...μία προσπάθεια στο πρώτο ερώτημα αυτής της πράγματι απαιτητική άσκηση....

Λέω ότι η απόσταση είναι ίση με και η απόσταση είναι ίση με
άρα θέλουμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του ώστε να ισχύει η ισότητα απ’ όπου έχουμε ότι (1) ή (2)
Από (1) έχουμε οπότε είναι σημεία κλάδου υπερβολής και από την(2) οπότε είναι και σημεία έλλειψης…
...δεν ξέρω αν έχω απομακρυνθεί από τη σκέψη της άσκησης....

Μήπως το 1 πρώτο πρόκειται για μηνισκο

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε τους μιγάδες

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγάδα z στις εξής περιπτώσεις:

KAKABASBASILEIOS έγραψε:<...> οπότε είναι σημεία κλάδου υπερβολής

Βασίλη, νομίζω ότι ο γ.τ. στο 1) είναι χωρίο, όχι καμπύλη.

Συγκεκριμένα είναι το . (Μετά τις πράξεις φεύγει ο δευτεροβάθμιος όρος). Κάτι ανάλογο στο 2).

Πρόκειται για σημεία που περιγράφονται με δύο παραμέτρους (= χωρίο), αλλά δεν ξέρω να τα περιγράψω γεωμετρικά. Γι' αυτό δεν γράφω τις πράξεις.

Μ.

Μέχρι να ανεβάσω την λύση, επιτρέψτε μου να αναφέρω ότι ο γ.τόπος είναι κυκλικός δακτύλιος επεκτεινόμενος από απειροσύνολο ευθειών του επιπέδου.

S.E.Louridas

Δηλαδή ας πούμε για την πρώτη περίπτωση (η δεύτερη έχει το ίδιο στυλ σκέψης) ότι:
Έχουμε τους κύκλους (Κ,1) με Κ=(2,0) και (Λ,2) με Λ=(0,4). Αν υποθέσουμε την κίνηση δύο σημείων του μεν Α στον πρώτο κύκλο του δε Β στον δεύτερο κύκλο και ονομάσουμε Μ το μέσον του ΑΒ ,αυτό ανήκει στον κυκλικό δακτύλιο με κέντρο το μέσον της διακέντρου ΚΛ ακτίνων που είναι ο γ.τόπος των μέσων αυτών . Όμως αν θεωρήσουμε την μεσοκάθετη του ΑΒ τότε επίσης αυτή ανήκει στον ζητούμενο ευρύτερο γ. τόπο του προβλήματος που θέσαμε. Το σύνολο όλων αυτών των μεσοκαθέτων των αντίστοιχων ΑΒ αποτελεί τον ζητούμενο γ.τόπο. Συνεπώς για να είναι ένα τυχόν σημείο, έστω Ρ του επιπέδου που ανήκει το ζεύγος των δεδομένων κύκλων σημείο του γ. τόπου θα πρέπει να υπάρχει σημείο Χ του δακτυλίου που είναι ο γ. τόπος των μέσων των ΑΒ, με την ιδιότητα η κάθετη από το Χ στο ΡΧ να τέμνει τους κύκλους σε σημεία Α΄, Β΄ αντίστοιχα , ώστε Α΄Χ=ΧΒ΄. Αυτά σε πρώτη φάση.

S.E.Louridas

Έχω την εντύπωση ότι πρόκειται για πρόβλημα ασαφώς διατυπωμένο.

Η γεωμετρική του μορφή είναι η εξής:
Δίνονται δύο κύκλοι που δεν έχουν κοινά σημεία και η διάκεντρός τους είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτίνων τους.
Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου που όσο απέχουν από ένα σημείο του ενός κύκλου,
απέχουν και από ένα σημείο του άλλου κύκλου.

Πρώτα, πρώτα παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο του ενός κύκλου αντιστοιχούν (στις περισσότερες θέσεις) δύο σημεία του άλλου κύκλου που ισαπέχουν από τα υποτιθέμενα σημεία του γεωμετρικού τόπου.

Ίσως να μην κατάλαβα καλά την εκφώνηση του προβλήματος.
Παρ΄αυτά έκανα προσπάθεια να την ξαναδιαβάσω και πάλι τα ίδια.
Για το λόγο αυτό καταθέτω τον προβληματισμό μου.
Φιλικά,

Ανδρέας Πούλος

Φίλε Ανδρέα,
Η ιδέα κατασκευής ξεκινα σαν σκέψη από το γεωμετρικό πρόβλημα: Εστω δύο κύκλοι διαφορετικών κέντρων (Κ,r) και (Λ,R) (εδώ τυγχάνει η διάκεντρος να είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτίνων τους). Ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ με Α σημείο του ενός κύκλου και Β σημείο του άλλου κύκλου είναι κυκλικός δακτύλιος περιεχόμενος μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το μέσον της διακέτρου και ακτίνες αντίστοιχα (Αν δηλαδή, αντί για τις σχέσεις των περιπτώσεων 1ης ) και 2ης ) δινόταν σχέση του τύπου ο ζητούμενος γ.τόπος θα ήταν εν γένει κυκλικός δακτύλιος). Γιά μία σταθερή θέση του ΑΒ η μεσοκάθετη του είναι, προφανώς, υποσύνολο του γ.τόπου που ζητάμε. Αν για το τυχόν σημείο, έστω Σ της μεσοκαθέτου κατασκευάσουμε κύκλο κέντρου Σ και ακτίνας ΣΒ και αυτός τμήσει τον κύκλο που ανήκει η Β σε σημείο Β΄ κ.τ.λ., τότε το Σ θα ανήκει επίσης και στην μεσοκάθετη του ΑΒ΄.Δηλαδή γιά το τυχόν σημείο του γ. τόπου μας θα υπάρχει τμήμα ΑΒ με Α σημείο του ενός κύκλου και Β του άλλου στην μεσοκάθετη του οποίου θα ανήκει το σημείο αυτό. Εν κατακλείδι ζητούμε να προσδιορήσουμε το υποσύνολο εκείνο του επιπέδου που είναι ένωση των μεσοκαθέτων των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ όταν Α σημείο του ενός κύκλου και Β σημείο του άλλου κύκλου.
Ή ισοδύναμα τον γεωμετρικό τόπο τών σημείων που είναι κέντρα κύκλων οι οποίοι τέμνουν τους δύο δεδομένους κύκλους Κ,Λ.

S.E.Louridas