Zonk

erxmer · #1

Δίνεται $f: [1, +\infty) \to R$ παραγωγίσιμη με $\displaystyle{lnx \leq f(x) \leq x-1, x>1}$ .

1) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (1,f(1))

.

2) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{xlnx-x+1 \leq F(x) \leq \frac{(x-1)^2}{2}, x \geq 1}$ , όπου

μια αρχική της

3) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(x)}$

4) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt{2E} \leq e-1}$ όπου

το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

C_f

τον άξονα των

και την ευθεία x=e

.

5) Αν γνωρίζουμε ότι η

έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y=ax+b

με $b \leq -1$ ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)}$ έχει τουλάχιστον μία λύση.

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται $f: [1, +\infty) \to R$ παραγωγίσιμη με $\displaystyle{lnx \leq f(x) \leq x-1, x>1}$ .

1) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο .

2) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{xlnx-x+1 \leq F(x) \leq \frac{(x-1)^2}{2}, x \geq 1}$ , όπου μια αρχική της

3) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(x)}$

4) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt{2E} \leq e-1}$ όπου το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

τον άξονα των και την ευθεία .

5) Αν γνωρίζουμε ότι η έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με $b \leq -1$ ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)}$ έχει τουλάχιστον μία λύση.

(α) Εφόσον η

είναι παραγωγίσιμη αυτό σημαίνει ότι είναι και συνεχής. Άρα είναι και συνεχής στο x_0=1

. Παίρνοντας όρια στην αρχική σχέση καθώς $x \rightarrow 1+$ βγάζουμε ότι $\lim \limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=0$ και λόγω συνέχειας είναι f(1)=0

. Επίσης η αρχική σχέση δίδει
$\displaystyle{\begin{matrix} \dfrac{\ln x}{x-1} \leq \dfrac{f(x)}{x-1} \leq \dfrac{x-1}{x-1} & \Rightarrow \\\\ \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{\ln x}{x-1} \leq \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{f(x)}{x-1} \leq \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x-1}{x-1} & \Rightarrow \\\\ 1 \leq f'(1) \leq 1 \end{matrix}}$ Άρα f'(1)=1

και κατά συνέπεια η εξίσωση της εφαπτομένης στο x_0=1

είναι η ευθεία με εξίσωση y=x-1

.

(β) Έστω ${\rm F}(x) = \bigintsss_1^x f(t) \, {\rm d}t$ η αρχική μας. Τότε
$\displaystyle{\begin{matrix} \ln x \leq f(x) \leq x -1 & \Rightarrow \\\\ \displaystyle \int_{1}^{x} \ln t \, {\rm d}t \leq \int_{1}^{x} f(t) \, {\rm d}t \leq \int_{1}^{x} (t-1) \, {\rm d}t &\Rightarrow \\\\ \displaystyle x \ln x - x \leq {\rm F}(x) - \cancelto{0}{{\rm F}(1)} \leq \frac{(x-1)^2}{2} \end{matrix}}$ (γ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε $x \ln x - x \leq {\rm F}(x)$ . Άρα $\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} x \ln x - x \leq \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} {\rm F}(x)$ και επειδή $\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} x \ln x - x =+\infty$ το ζητούμενο έπεται.

(δ) Από τη σχέση $\ln x \leq f(x)$ βγάζουμε ότι για κάθε x>1

είναι $f(x) \geq 0$ με την ισότητα να ισχύει στο

όπως είδαμε το (α) ερώτημα. Άρα το εμβαδόν δίδεται του τύπου
$\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right )= \int_{1}^{e} f(x) \, {\rm d}x}$ Τότε χρησιμοποιώντας την αρχική έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{2{\rm E}} &=\sqrt{2 \int_{1}^{e} f(t) \, {\rm d}t} \\ &\leq \sqrt{2 \int_{1}^{e} (t-1) \, {\rm d}t} \\ &=e-1 \end{aligned}}$ και η ζητούμενη ανισότητα αποδείχθηκε.

(ε)

Δε καταλαβαίνω επίσης το τίτλο του θέματος.

Tolaso J Kos · #3

erxmer έγραψε:
5) Αν γνωρίζουμε ότι η έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με $b \leq -1$ ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)}$ έχει τουλάχιστον μία λύση.

Επαναφορά για το ερώτημα αυτό.

dement · #4

Παρατήρησε ότι $0 < a \leqslant 1$ για να έχουμε πλάγια ασύμπτωτη. Βρες δύο κατάλληλα σημεία και παίξε μπάλα.

nikos18 · #5

Εφόσον ισχύει $lnx/x\leq f(x)/x\leq (x-1)/x$ και το $lim_{x \to\infty}(lnx/x)=0$ τότε θα είναι και $lim_{x \to\infty}((x-1)/x)=1$
$0\leqslant lim_{x \to\infty}(f(x)/x)\leq 1$

dement · #6

nikos18 έγραψε:Εφόσον ισχύει $lnx-ax-b\leq f(x)-ax-b\leq x-1-ax-b$ και το $lim_{x \to\infty}(lnx-ax-b)=+\infty$

Αυτό το τελευταίο πόθεν;

nikos18 · #7

Συγνώμη, διόρθωσα άμεσα αυτό που έγραψα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Κάνω το τελευταίο για να κλίσει.

Από τα προηγούμενα πρέπει $0< a\leq 1$

Θέλουμε η $g(x)=f(x)-b(x-1)-(1-a)\dfrac{x^{2}}{4}$

να έχει ρίζα στο $[1,\infty )$

Αν a=1

εχει ρίζα το

Εστω

Τότε

και $g(2-a)=f(2-a)+(1-a)(-b-\dfrac{(2-a)^{2}}{4})> 0$

( $-b\geq 1$ )

Από Bolzano έχει ρίζα.

Στο 2 η σωστή διατύπωση είναι.Υπάρχει αρχική .......

Zonk

Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Re: Zonk

Μέλη σε σύνδεση