Υποψήφιο Θέμα Γ

Antonis Loutraris · #1

Ένα όμορφο θέμα με ερωτήματα που έχουν ενδιαφέρον:

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f(x)=x-\ln(x-\ln x)$ και $h(x)=x^{2}-x\cdot\ln x-x+1.$

(α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο $x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$ με την ιδιότητα $h'(x_{1})=h'(x_{2})=0.$

(β) Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και να δείξετε οτι h(x)>0, x>0.

(γ) Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt}$ είναι κυρτή και οτι παρουσιάζει oλικό ελάχιστο σε ένα μόνο $x_{0}\in(0,+\infty).$

(δ) Βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{2015}{g(x)-x+1}}.$

#2

Antonis Loutraris έγραψε:Ένα όμορφο θέμα με ερωτήματα που έχουν ενδιαφέρον:

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f(x)=x-\ln(x-\ln x)$ και $h(x)=x^{2}-x\cdot\ln x-x+1.$

(α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο $x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$ με την ιδιότητα $h'(x_{1})=h'(x_{2})=0.$

(β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να δείξετε οτι

(γ) Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt}$ είναι κυρτή και οτι παρουσιάζει oλικό ελάχιστο σε ένα μόνο $x_{0}\in(0,+\infty).$

..μία προσπάθεια για τα (α), (β)...

(α) Είναι η $h(x)={{x}^{2}}-x\cdot \ln x-x+1,\,\,\,\,\,x>0$ παραγωγίσιμη με ${h}'(x)=2x-\ln x-2,\,\,\,\,\,x>0$ που είναι επίσης παραγωγίσιμη με

${h}''(x)=2-\frac{1}{x},\,\,\,\,\,x>0$ και επειδή ${h}''(x)=2-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ είναι

${h}''(x)>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2},\,\,\,{h}''(x)<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$ άρα η {h}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα

${{A}_{1}}=(0,\,\,\frac{1}{2}]$ και γνήσια αύξουσα στο ${{A}_{2}}=[\frac{1}{2},\,\,+\infty )$ επομένως θα είναι

${h}'({{A}_{1}})=[\,{h}'(\,\frac{1}{2}),\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{h}'(x))=[-1+ln2,\,\,+\infty )$ και επειδή

$0\in (-1+\ln 2,\,\,+\infty )$ υπάρχει μοναδικός ${{x}_{1}}\in (0,\,\,\,\frac{1}{2})$ με ${h}'({{x}_{1}})=0$

και ακόμη είναι ${h}'({{A}_{2}})=[\,{h}'(\,\frac{1}{2}),\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{h}'(x))=[-1+ln2,\,\,+\infty )$

αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{h}'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x(2-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x})=+\infty$ γιατί $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{x}=0$ (DLH…) και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0$

και επειδή {h}'(1)=0

είναι ${{x}_{2}}=1$ επομένως υπάρχουν ακριβώς δύο $x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$ με την ιδιότητα $h'(x_{1})=h'(x_{2})=0.$

...και μετά απο Π.Μ του Μιχάλη...(της νύχτας τα καμωματα)...έγινε η διορθωση και στη συνέχεια και το (γ)

β) Λόγω του προηγουμένου η ${h}'(x)=2x-\ln x-2$

αφού είναι γνήσια φθίνουσα στο ${{A}_{1}}=(0,\,\,\frac{1}{2}]$ και μηδενίζεται στο ${{x}_{1}}\in (0,\,\,\,\frac{1}{2})$ θα ισχύει ότι

$0<x<{{x}_{1}}\Leftrightarrow {h}'(x)>{h}'({{x}_{1}})=0$ και ${{x}_{1}}<x\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow {h}'({{x}_{1}})>{h}'(x)\ge {h}'(\frac{1}{2})$

και αφού είναι γνήσια αύξουσα στο ${{A}_{2}}=[\frac{1}{2},\,\,+\infty )$ και μηδενίζεται στο $1\in (\frac{1}{2},+\infty )$

θα ισχύει ότι $\frac{1}{2}\le x<1\Leftrightarrow {h}'(\frac{1}{2})\le {h}'(x)<{h}'(1)=0$ και

για $1<x\Leftrightarrow {h}'(1)<{h}'(x)\Leftrightarrow {h}'(x)>0$ οπότε τελικά η $h(x)={{x}^{2}}-x\cdot \ln x-x+1,\,\,\,\,\,x>0$

είναι γνήσια αύξουσα ${{\Delta }_{1}}=(0,\,\,\,{{x}_{1}}]$ γνήσια φθίνουσα στο ${{\Delta }_{2}}=[{{x}_{1}},1]$

και γνήσια αύξουσα στο ${{\Delta }_{3}}=[1,+\infty )$ έτσι έχουμε ότι:

$h({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,h(x),\,\,h({{x}_{1}})]=(1,\,\,\,h({{x}_{1}})]$ με

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}-x\cdot \ln x-x+1)=1$

αφού $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x\cdot \ln x)=0$ και $h({{\Delta }_{2}})=[h(1),\,h({{x}_{1}})]$ με h(1)=1-1+1=1

και τέλος $h({{\Delta }_{3}})=[h(1),\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x))=[1,+\infty )$ γιατί

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x(x-\ln x-1+\frac{1}{x})$ και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x-\ln x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x(1-\frac{\ln x}{x})=+\infty$ (DLH…)

άρα το σύνολο τιμών της

είναι $h\left( (0,+\infty ) \right)=[1,+\infty )$ άρα $h(x)>0,\,\,\,\,x>0$ .

...και μετά την παρατηρηση του jchou εκανα την διόρθωση....

(γ) Είναι η $\displaystyle{g(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt}$ επειδή η $f(x)=x-\ln(x-\ln x)$ ορίζεται και είναι συνεχής για x>0

(..αφού και λόγω της γεωμετρικής θέσης $x,\,\,\ln x$ ισχύει $x>\ln x$ ….ή και ακόμη από γνωστή εφαρμογή

$\ln x\le x-1,\,\,\,x>0$ θα ισχύει $\ln x\le x-1<x,\,\,\,x>0$ )

άρα και παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=f(x)=x-\ln (x-\ln x)$ και τότε ${g}''(x)=(x-\ln (x-\ln x){)}'=...=\frac{h(x)}{x(x-\ln x)},\,\,\,\,x>0$

και επειδή από (β) $h(x)>0,\,\,\,\,x>0$ θα είναι ${g}''(x)>0,\,\,x>0$ άρα η

είναι κυρτή στο $(0,+\infty )$ και {g}'

γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ Τώρα η ${g}'(x)=f(x)=x-\ln (x-\ln x)$ είναι συνεχής και είναι

{g}'(1)=f(1)=1>0

και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{g}'(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x-\ln (x-\ln x))=-\infty$

άρα είναι το ${g}'\left( (0,1] \right)=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{g}'(x),{g}'(1)]=(-\infty ,1]$ επομένως έχει μοναδική ρίζα

${{x}_{0}}\in (0,1)$ και επειδή {g}'

γνήσια αύξουσα θα ισχύει για $0<x<{{x}_{0}}\Rightarrow {g}'(x)<{g}'({{x}_{0}})=0$ άρα

γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,{{x}_{0}}]$ και για $x>{{x}_{0}}\Rightarrow {g}'(x)>{g}'({{x}_{0}})=0$ άρα

γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{0}},\,\,\,+\infty )$ οπότε η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε ένα μόνο $x_{0}\in(0,+\infty).$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

maiksoul · #3

Για το δ)

Είναι

κυρτή και η εφαπτομένη της στο σημείο A(1,g(1))

είναι η

άρα προκύπτει ότι :

$\displaystyle{ \,\,\forall x:0 \prec x \ne 1:g(x) \succ x - 1 \Leftrightarrow \,\,g(x) - x + 1 \succ 0\,\, }$

όμως $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 } \,[g(x) - x + 1] = 0 }$

άρα το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{ + \infty }$

jchou · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε:

και επειδή και γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι για $0<x<1\Rightarrow {g}'(x)<{g}'(1)=0$ άρα

γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,1]$ και για για $x>1\Rightarrow {g}'(x)>{g}'(1)=0$ άρα γνήσια αύξουσα στο $[1,\,\,+\infty )$

οπότε στο η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $g(\,1)=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης